Réponse :
Bonsoir,
Explications étape par étape :
On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par:
u0=1; un+1=(3un+2vn)/5
v0 = 2; vn+1=(2un+3vn)/5
a.
1. Calculer u1, V1, U2 et V2.
2. On considère la suite (dn) définie pour tout entier naturel n par dn=vn-1
(ici c'est dn=vn-un )
A.montrer que la suite (dn) est une suite géométrique dont on donnera sa raison et son premier terme
B. En déduire l’expression de dn en fonction de n
3) On considère la suite (Sn) définie pour tout entier naturel n par Sn=un + vn
A. Calculer S0, S1 et S2. Que peut-on conjecturer ?
B. Montrer que, pour tout n(appartenant)N, Sn+1=Sn.
Qu’en déduit t’on?
4. En déduire une expression de un et vn en fonction de n
5.Déterminer, en fonction de n:
A) Tn= u0+u1+….+un
B) Wn= w0+w1+…+wn
(ici c'est Wn=v0+v1+v2+...+vn)
[tex]1)\\\left \{ \begin {array}{ccc}u_0&=&1\\v_0&=&2\\\\u_{n+1}&=&\dfrac{3}{5} *u_n+\dfrac{2}{5}*v_n \\\\v_{n+1}&=&\dfrac{2}{5} *u_n+\dfrac{3}{5}*v_n \\\end{array}\right.\\\\u_1=\dfrac{3}{5} *1+\dfrac{2}{5}*2=\dfrac{7}{5} \\\\v_1=\dfrac{2}{5} *1+\dfrac{3}{5}*2=\dfrac{8}{5} \\\\\\u_2=\dfrac{3}{5} *\dfrac{7}{5} +\dfrac{2}{5}*\dfrac{8}{5} =\dfrac{37}{25} \\\\v_2=\dfrac{2}{5} *\dfrac{7}{5} +\dfrac{3}{5}*\dfrac{8}{5} =\dfrac{38}{25} \\\\[/tex]
2)
A)
[tex]d_n=v_n-u_n\\\\d_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{2}{5} *u_n+\dfrac{3}{5} *v_n-\dfrac{3}{5} *u_n-\dfrac{2}{5} *v_n\\=-\dfrac{1}{5} *u_n+\dfrac{1}{5} *v_n\\=\dfrac{1}{5} *(v_n-u_n)\\\\\boxed{d_{n+1}=\dfrac{1}{5} *d_n}\\[/tex]
d_n est donc géométrique de raison 1/5
d_0=1/5*(2-1)=1/5
B)
[tex]d_n=\dfrac{1}{5} *(\dfrac{1}{5})^n\\=(\dfrac{1}{5})^{n+1}\\[/tex]
3)
A)
[tex]s_n=u_n+v_n\\s_0=1+2=3\\\\s_1=\dfrac{7}{5}+\dfrac{8}{5}=\dfrac{15}{5}=3\\\\s_2=\dfrac{37}{25}+\dfrac{38}{25}=\dfrac{75}{25}=3\\[/tex]
s serait constante
B)
[tex]s_n=u_n+v_n\\\\s_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=\dfrac{3}{5}*u_n+\dfrac{2}{5}*v_n+\dfrac{2}{5}*u_n+\dfrac{3}{5}*v_n=u_n+v_n=s_n\\[/tex]
4)
[tex]\left \{ \begin {array} {ccc}u_n+v_n&=&3\\v_n-u_n&=&\dfrac{1}{5^{n+1} } \\\end {array} \right.\\\\\left \{ \begin {array} {ccc}u_n&=&\dfrac{3}{2} -\dfrac{1}{2*5^{n+1}} \\\\v_n&=&\dfrac{3}{2} +\dfrac{1}{2*5^{n+1}} \\\end {array} \right.\\[/tex]
5)
A)
[tex]\displaystyle t_n=\sum_{i=0}^n u_i=\sum_{i=0}^n 3=3*(n+1)\\\\[/tex]
B)
[tex]w_n=\sum_{i=0}^n v_i=\frac{1}{2} *\sum_{i=0}^n (3+\dfrac{1}{5^{i+1}})\\=\dfrac{3}{2} (n+1)+\frac{1}{2} *\dfrac{\dfrac{1}{5^{n+2}}-1 }{-\dfrac{4}{5} }[/tex]
Je te laisse le simplification. (Vérifie mes calculs)