Réponse :
f(x) = - 1/9) x³ - 2/3) x² + 4 x + 24 définie sur [- 6 ; 6]
a) montrer que l'aire du triangle AMH est égale à f(x)
soit A l'aire du triangle AMH ⇒ A = 1/2(AH * MH)
vec(AH) = (x + 6 ; 0) ⇒ AH² = (x + 6)² ⇒ AH = x + 6
vec(MH) = (0 ; y) ⇒ MH² = y² ⇒ MH = y = - 2/9) x² + 8
donc A = 1/2((x +6)*(- 2 x²/9 + 8)) = 1/2(- 2 x³/9 + 8 x - 12 x²/9 + 48)
= - 1/9) x³ - 2/3) x² + 4 x + 24 = f(x)
b) calculer f '(x)
f est une fonction polynôme dérivable sur [- 6 ; 6] et sa dérivée f ' est
f '(x) = - 1/3) x² - 4/3) x + 4
c) étudier les variations de f
f '(x) = - 1/3) x² - 4/3) x + 4
Δ = 16/9 + 16/3 = 64/9 > 0 ⇒ 2 racines ≠
x1 = 4/3 + 8/3)/- 2/3 = 12/3/- 2/3 = - 6
x2 = 4/3 - 8/3)/- 2/3 = - 4/3/- 2/3 = 2
signe de f '(x)
x - 6 2 6
f '(x) 0 + 0 -
f (x) f(-6) →→→→→ f(2) →→→→→→→ f(6)
croissante décroissante
4) en x = 2 l'aire du triangle AMH est maximale
cette aire est : f(2) = - 1/9)*2³ - 2/3)*2² + 4*2 + 24
= - 8/9 - 8/3 + 8 + 24
= - 32/9 + 32
= 256/9
Donc l'aire maximale est de 256/9
Explications étape par étape :
