Réponse : le complément circonstanciel de manière
« Tantôt il lui caressait le menton, tantôt il lui baisait la main, tantôt il lui murmurait quelque chose à l’oreille et il s’inclinait de temps en temps devant elle, avec une courtoisie d’ours. »
Au sens figuré, un ours est une personne peu sociable, sauvage, misanthrope, qui fuit la société.
L'expression est donc un oxymore. Courtoisie et ours ne vont pas ensemble.
La formule montre donc la maladresse malgré les bonnes intentions.