Réponse :
Bonjour,
1) Tableau de valeurs de la fonction [tex]f[/tex]
[tex]\begin{tabular}{cccccccccc}x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\f(x) & -7 & 0 & 5 & 8 & 9 & 8 & 5 & 0 & -7\end{tabular}[/tex]
2) C.f pièce jointe pour la courbe représentative [tex]C_f[/tex]
3) a) [tex]f(4) = -(4)^2 + 2 \times 4 + 8 = -16 + 8 + 8 = 0 \ \ d'o\`u \ D(4 ; 0)[/tex]
C.f pièce jointe pour le placement du point D sur la courbe [tex]C_f[/tex].
3) b)
[tex]f(4 + h) = -(4+h)^2 + 2(4 +h) +8\\\\f(4 + h) = -(16 + 8h + h^2) + 2(4 + h) + 8\\\\f(4 + h) = -16 - 8h - h^2 + 8 + 2h + 8\\\\f(4 + h) = -h^2 - 6h[/tex]
3) c) [tex]\tau (4 ; 4+h) = \dfrac{f(4+h)-f(4)}{h} = \dfrac{-h^2-6h}{h} =\dfrac{h(-h-6)}{h} = -h - 6[/tex]
3) d) [tex]-h - 6 \in \mathbb R[/tex]
[tex]\lim_{h \to 0} -h-6 = -6[/tex]
3) e)
[tex]d : y = f'(4)(x -4)-f(4)\\\\d:y=-6(x-4)-0\\\\d:y=-6x+24[/tex]
3) f) La tangente [tex]d[/tex] à la courbe [tex]C_f[/tex] au point D(4 ; 0), a pour ordonnée à l'origine b = 24. Il faut donc tracer la droite de la tangente [tex]d[/tex] de sorte qu'elle passe par les points de coordonnées (0 ; 24) et (4 ; 0).
4) a) [tex]d : y=-6x+24[/tex] est une fonction affine de la forme [tex]ax + b[/tex] avec [tex]a = -6[/tex] et [tex]b = 24[/tex]. D'où [tex]d[/tex] est la représentation graphique d'une fonction affine [tex]g[/tex] telle que [tex]g(x) = -6x + 24[/tex].
4) b)
[tex]f(x) -g(x) = -x^2 + 2x + 8 - (-6 x + 24)\\\\f(x) -g(x) = -x^2 + 2x + 8 + 6 x - 24)\\\\f(x) -g(x) = -x^2 + 8x - 16\\\\[/tex]
4) c)
[tex]\Detla = b^2 - 4ac\\\\= 8^2 - 4 \times (-1) \times (-16)\\\\= 0 \text{ donc $f(x) - g(x)$ admet une racine r\'eelle}[/tex]
[tex]x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{2 \times (-1)} = 4[/tex]
D'où la forme factorisée:
[tex]f(x) - g(x) = -(x-4)^2[/tex]
