Réponse :
Re bonjour
Explications étape par étape :
Les point A, B ,C définissent un plan si les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires
vecAB(5-1=4; 5-5=0 et -1-3=-4 ) vecAB(4; 0; -4)
vecAC(9-1=8; 5-5=0 et 1-3=-2 ) vecAC(8; 0; -2)
on note que 8/4=2 et que -2/-4=1/2 les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires; ils définissent donc le plan (A,B,C).
2-a) tout ce qui suit est en vecteurs ajoute les flèches.
GA+GB+GC=0
GA+GA+AB+GA+AC=0
3AG=AB+AC
AG=(AB+AC)/3 il existe donc un seul point G tel que GA+GB+GC=0 car les vecteurs AB et AC sont bien définis
Coordonnées de G : G est l'mage de A par translation de vecteur (AB+AC)/3
xG=xA+x(AB+AC)/3=1+4=5
yG=yA+y (AB+AC)/3=5+0=5
zG=zA+z(AB+AC)/3=3-2=1
Coordonnées de G(5; 5; 1)
2-b) (1/3)(BA+BC)=(1/3)(BG+GA+BG+GC) or GA+GC=BG
ce qui donne (1/3)(3BG)=BG
2-c) le point G est le centre de gravité du triangle ABC ; il appartient au plan (A,B,C) car il est colinéaire avec le vec(BA+BC)
3) S(5;-7;1)
Coordonnées du vecSG (5-5=0; 5+7=12; 1-1=0) vecSG(0; 12; 0)
calculons les produits scalaires
vecSG*vecAB=0*4+12*0+0*(-4)=0
vecSG*vecAC=0*8+12*0+0*(-2)=0
La droite (SG) est orthogonale avec les droites (AB) et (AC) le vecteur SG est un vecteur normal pour le plan (A,B,C) et comme G appartient au plan(A,B,C) ,G est le projeté orthogonal de S sur ce plan.
