Réponse :
Explications étape par étape :
Triangle ABC rectangle en A
Aire d'un disque : [tex]\pi *r^{2} =\pi *\frac{D^{2} }{4}=r^{2}=\frac{D^{2} }{4}[/tex]
Pythagore :
BC = diamètre du 1/2 cercle violet => rayon = [tex]\frac{BC}{2}[/tex]
AB = diamètre du petit 1/2 cercle vert => rayon =[tex]\frac{AB}{2}[/tex]
AC = diamètre du moyen 1/2 cercle vert => rayon = [tex]\frac{AC}{2}[/tex]
[tex]BC^{2} =AB^{2} +AC^{2}[/tex]
[tex]Aire (petit cercle vert)=\pi *\frac{D^{2} }{4} =\pi *\frac{AB^{2} }{4} \\Aire (moyen cercle vert)=\pi *\frac{D^{2} }{4} =\pi *\frac{AC^{2} }{4}\\Aire (cercle violet)=\pi *\frac{D^{2} }{4} =\pi *\frac{BC^{2} }{4}[/tex]
La somme des aires des 2 plus petits demi-disque est égale à l'aire du plus grand
[tex]Aire (demi cercle violet)=\pi *\frac{BC^{2} }{4} *\frac{1}{2} \\Aire (demi cercle vert moyen)=\pi *\frac{AC^{2} }{4} *\frac{1}{2} \\Aire (demi cercle vert petit )=\pi *\frac{AB^{2} }{4} *\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\pi *\frac{BC^{2} }{4} *\frac{1}{2}=\pi *\frac{AC^{2} }{4} *\frac{1}{2}+\pi *\frac{AB^{2} }{4} *\frac{1}{2}\\[/tex]
Après simplification on arrive a :
[tex]BC^{2} =AC^{2} +AB^{2}[/tex] => Ce qui nous donne le théorème de Pythagore
Conclusion : la somme des aires des deux plus petits demi-disques (verts) est égale à l’aire du plus grand (violet).
