Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
U(1)=(2/3)(1/2)+1=1/3 + 1=4/3
U(2)=(2/3)(4/3)+1=8/9 +1=17/9
2)
U(n+1)-U(n)=(2/3)U(n)+1-U(n)=U(n)(2/3-1)+1=-(1/3)U(n)+1 qui n'est pas une valeur constante .
Donc (U(n)) pas arithmétique.
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U(n+1)/U(n)=(2/3)U(n)/U(n) +1/U(n)=(2/3) + 1/U(n) qui n'est pas une valeur constante .
Donc (U(n)) pas géométrique.
3)
a)
V(n)=U(n)-3
V(n+1)=U(n+1)-3 mais U(n+1)=(2/3)U(n)+1 donc :
V(n+1)=(2/3)U(n)+1-3
V(n+1)=(2/3)U(n)-2
On met (2/3) en facteur :
V(n+1)=(2/3)[U(n)-3] ===>car (2/3)(-3)=-2
Donc :
V(n+1)=(2/3)V(n) qui prouve que (V(n)) est une suite géométrique de raison q=(2/3) et de 1er terme V(0)=U(0)-3=(1/2)-3=-5/2.
b)
Le cours dit que :
V(n)=V(0) x q^n soit ici :
V(n)=-(5/2) x (2/3)^n
c)
Mais U(n)=V(n)+3 donc :
U(n)=-(5/2) x (2/3)^n + 3
