Bonsoir,
B(x) = -x² + 20x - 64
1. Calculer le bénéfice réalisé lorsque l'entreprise produit et vend 10 tonnes d'engrais:
On calcule l'image de 10 par la fonction B:
B(10) = -10² + 20*10 - 64
B(10) = -100 + 200 - 64
B(10) = 100 - 64
B(10) = 36
Le bénéfice réalisé pour la production et la vente de 10 tonnes d'engrais est de 3 600€
2.
a) Vérifier que 4 est une racine du polynôme B(x) :
>> On remplace x par 4 dans l'expression de B(x). Si 4 est véritablement racine du polynôme, notre résultat sera nul.
B(4) = -4² + 20*4 - 64
B(4) = -16 + 80 - 64
B(4) = -16 + 16
B(4) = 0
✅ 4 est bien racine du polynôme.
b) En déduire l'autre racine de B(x)
>> On calcule le discrimant :
∆ = b² - 4ac
∆ = 20² - 4*(-1)* (-64)
∆ = 400 - 256
∆ = 144
∆ = 144 > 0 ; l'équation admet deux solutions réelles distinctes:
x1 = (-b - √∆)/2a = (-20 - 12)/(-2) = -32/(-2) = 16
x2 = (-b + √∆)/2a = (-20 + 12)/(-2) = -8/(-2) = 4
S={ 4 ; 16 }
L'autre racine du polynôme est 16. ✅
c) Factoriser B(x) :
Puisque B(x) est un polynôme de degré 2 (ax² + bx + c) ayant un discrimant supérieur à 0, il peut être factorisé de la façon suivante:
a(x - x1)(x - x2)
On a donc:
B(x) = -1(x - x1)(x - x2)
B(x) = -1(x - 4)(x - 16)
B(x) = (-x + 4)(x - 16)
B(x) = (4 - x)(x - 16)
✅
3.
a) Résoudre B(x) > 0
On doit dresser un tableau de signe en utilisant les racines du polynôme :
x | 2 4 16 17
---------------------------------------------------------------
4 - x | + 0 - +
---------------------------------------------------------------
x - 16 | - - - 0 +
---------------------------------------------------------------
B(x) | - 0 + 0 +
S= ]4 ; 16[
b) En déduire la quantité d'engrais, exprimée en tonnes, que l'entreprise doit produire et vendre pour faire des bénéfices.
L'entreprise doit produire et vendre entre 4 et 16 (non inclus) tonnes d'engrais chaque jour pour réaliser un bénéfice. ✅
(Je t'ai mis le tableau également en PJ pour être sûr que tu puisses l'avoir)
* = multiplication
Bonne soirée.
