bjr
nous voilà dans une entreprise qui fabrique du parfum -
entre 0 (exclus) et 50 litres (inclus) par jour puisque : ]0 ; 50 [
pour x litres de parfum fabriqué, cela coûte 0,5x² + 2x + 200 en centaine d'€
et
chq x litre de parfum est vendu 2500€
a)
puisque chq x litre de parfum est vendu 2500€
on aura recette R(x) = x * 2500
soit en 100aine d'€ = x * 25
=> R(x) = 25x
b) B(x) = bénéfice pour x litres vendus
bénéfice = recette - coût
soit
B(x) = 25x - (0,5x² + 2x + 200)
soit B(x) = 25x - 0,5x² - 2x - 200 = - 0,5x² + 23x - 200
c) pour qu'il y ait bénéfice il faut que B(x) > 0
donc que - 0,5x² + 23x - 200 > 0
il faut donc arriver à faire un tableau de signes en factorisant B(x) - donc en trouvant les racines de B(x) via calcul du discriminant delta
soit Δ = 23² - 4*(-0,5)*(-200) = 529 - 400 = 129
et donc les racines
x' = (-23 + √129) / (2*(-0,5)) = 11,64
x" = (-23 - √129) / ((2*(-0,5)) = 34,35
on a donc B(x) = - 0,5 (x - 11,64) (x - 34,35)
tableau de signes
x 0 11,64 34,35 50
-0,5 - - -
x-11,64 - 0 + +
x-34,35 - - 0 +
B(x) - 0 + 0 -
ce qui veut dire que B(x) > 0 sur ] 11,64 ; 34,35[
d) B max ?
au choix
le sommet de la courbe sera sur l'axe de symétrie de la courbe - donc son abscisse est au milieu des 2 racines :
xs = (11,64 + 34,35) / 2 = 23
ou pour un polynome ax² + bx + c
le sommet est xs = - b / 2a
on applique
pour - 0,5x² + 23x - 200
xs = -23/(2*(-0,5) = 23
