Bonjour,
Soit la fonction [tex]f[/tex] définie par [tex]f(x)=\frac{3x-2}{x-1}[/tex].
1) La fonction [tex]f[/tex] est définie :
SSI [tex]x-1\neq 0[/tex]
SSI [tex]x\neq 1[/tex]
D'où [tex]D_{f}[/tex] = ]-∞ ; 1[ U ]1 ; +∞[
2) La fonction [tex]f[/tex] est de la forme [tex]\frac{u}{v}[/tex] avec [tex]u=3x-2[/tex] et [tex]v=x-1[/tex].
Ainsi, la fonction dérivée de [tex]f[/tex] est de la forme [tex]\frac{u'v-uv'}{v^{2}}[/tex].
C'est-à-dire :
[tex]f'(x)=\frac{(3x-2)'(x-1)-(3x-2)(x-1)'}{(x-1)^{2}} \\\\f'(x)=\frac{3(x-1)-(3x-2)\times 1}{(x-1)^{2}} \\\\f'(x)=\frac{3x-3-3x+2}{(x-1)^{2}} \\\\f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^{2}}[/tex]
3) Etudions le signe de la dérivée [tex]f'(x)[/tex] :
Le numérateur est négatif car -1 < 0.
Le dénominateur est un carré, donc [tex](x-1)^{2}[/tex] > 0.
Ainsi, [tex]f'(x)<0[/tex] ∀ [tex]x[/tex] ∈ [tex]D_{f}[/tex].
Tableau de variations de la fonction [tex]f[/tex] :
Valeurs de [tex]x[/tex] -∞ -1 +∞
Signe de [tex]f'(x)[/tex] - ║ -
Variations de [tex]f[/tex] [tex]$\searrow[/tex] ║ [tex]$\searrow[/tex]
En espérant t'avoir aidé.
