Bonjour , je suis en seconde et mon prof de maths nous a donné ce devoir à faire mais je ne comprend rien du tout , pouvez vous m'aider svp !
Soit f la fonction définie sur [0;10] par f= x(10-x)
1) Démontrer que f(x)= 25-(x-5)^2
2) Monter que f est croissante sur [0;5] et décroissante sur [5;10]
3) dresser son tableau de variation
4) En déduire que f admet un maximum sur [0;10]. Quel est la valeur de ce maximum et por quelle valeur de la variable est-il atteint ?
5) Soit L la longueur d'un rectangle de périmètre égal à 20 cm. Calculer l'aire de ce rectangle en fonction de L.
6) Parmi tous les rectangle de périmètre 20cm, en existe-il un dont l'aire est maximale ? Quelle est sa particularité et quelle est son aire ?
1. Tu développes, tu as :
25-(x-5)² = 25-x²+10x-25 = 10x-x² = x(10-x)
D'où l'égalité.
2. Soit (a,b)∈[0,5]² tel que a<b, tu as :
f(b)-f(a) = 25-(b-5)²-25+(a-5)² = (a-5)²-(b-5)²
Or, a<b<5 donc a-5 < b-5 < 0 et (a-5)² > (b-5)²
D'où f(b)-f(a) > 0 Donc f est croissante sur [0;5].
Soit (a,b)∈[5;10]² tel que a<b, tu as :
f(b)-f(a) = 25-(b-5)²-25+(a-5)² = (a-5)²-(b-5)²
Or, 5<a<b donc 0<a-5 < b-5 et (a-5)² < (b-5)²
D'où f(b)-f(a) < 0 Donc f est décroissante sur [5;10].
3. Tu fait un tableau à 2 lignes et 3 colonnes :
x | 0 5 10
f(x)| 0 (flèche vers le haut ) 25 (flèche vers le bas) 0
4. f est continue sur [0;10], on remarque qu'elle atteint un maximum en x = 5
Et cette valeur est f(5) = 25
5) Le l'aire P d'un rectangle est égal au produit de sa largeur l et de sa longueur L.
On a :
2L+2l = 20 Donc l + L = 10 et l = 10-L
Et son aire A est alors égal à :
A = L(10-L)
6) On a clairement L ≥ 0 car c'est une longueur et L ≤ 10 car 10-L = l ≥ 0 car c'est une longueur.
Donc L∈[0;10].
Or, sur [0,10] on a vu que f(x) = x(10-x) est maximum pour x=5 et f(5) = 25.
Donc l'aire est maximum pour L = 5 cm et donc A = 25 cm²
Ainsi,
le rectangle de périmètre 20cm a une aire maximale pour une longueur L = 5cm.
Il s'agit d'un carré, puisque sa largeur l = 10-L = 10-5 = 5 cm = L .
Son aire est alors de A = 5*5 = 25 cm²
FIN