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bonjour, je ne comprends pas cette exercice, si quelqu’un pourrait m’aider ce serait génial


Exercice 3 : On considère la fonction f définie sur ]1/2 ;3]
par f(x)= ln(2x - 1) – x+1

2. Calculer f (1)
3. Calculer f '(x) et étudier le signe de f '(x).
4. Construire le tableau de variation de f
5. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions a et b dans ]1/2; 3]

Sagot :

f(x)= ln(2x - 1) – x+1

2. f(1)= ln(2-1)-1+1=ln(1)=0

3. f'(x)= 2/(2x-1) -1= (-2x+3)/(2x-1 )

Le signe de f'(x) est celui de -2x+3

Donc f'(x)>0 sur ]1/2, 3/2[ et

f'(x)<0 sur]3/2, 3]

4. f est strictement croissante sur

]1/2, 3/2[ et f est strictement decroissante sur ]3/2, 3]

5. • sur ]1/2, 3/2[

La fonction f est continue est strictement croissante

lim f(x)= - inf (lorsque x--->1/2)

et f(3/2)= ln(2)-1/2 >0

On a 0∈]-inf , f(3/2)]

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 admet une solution unique a sur ]1/2, 3/2[

• sur ]3/2 ,3]

f est continue et strictement decroissante

f(3/2)=ln(2)-1/2 >0 et f(3)=ln(5)-2 <0

On 0∈]f(3/2) ,f(3)]

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 admet une solution unique b sur ]3/2 ,3]

Finalement, l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions a et b dans

]1/2; 3]

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