Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape :
Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x )=(3−4 x )²−(2 x+1)².
1. Calculer l'image par f de 2.
f(2) = (3 - 4(2))² - (2(2) + 1)²
f(2) = (3 - 8)² - (4 + 1)²
f(2) = (- 5)² - (5)²
f(2) = 25 - 25
f(2) = 0
2. a. Développer, réduire et ordonner f (x).
f(x) = (3−4 x )²−(2 x+1)².
f(x) = 9 - 24x + 16x² - (4x² + 4x + 1)
f(x) = 9 - 24x + 16x² - 4x² - 4x - 1
f(x) = 8 - 28x + 12x²
b. Vérifier alors le résultat obtenu à la question 1..
f(2) = 8 - 28(2) + 12(2)²
f(2) = 8 - 56 + 48
f(2) = 56 - 56
f(2) = 0
3. a. Factoriser f (x).
f(x) = (3−4 x )²−(2 x+1)². est de la forme a² - b² = (a - b)(a + b)
avec a² = (3 - 4x)² et b²= (2x + 1)² donc a = 3 - 4x et b = 2x + 1
donc f(x) = (3 - 4x - (2x + 1)) (3 - 4x + 2x + 1)
f(x) = (3 - 4x - 2x - 1) (4 - 2x)
f(x) = (2 - 6x)(4 - 2x)
f(x) = (2×1 - 2×3x)(2×2 - 2×x)
Le facteur commun est ici souligné , nous le mettons devant et nous
mettons le reste derrière.
f(x) =2 × (1 - 3x)× 2 × (2 - x)
f(x) =4 (1 - 3x)(2 - x)
b. En déduire les antécédents par f de 0
Les antécédents par f de 0 sont obtenus comme suit
f(x) = 0
donc 4 (1 - 3x)(2 - x) = 0
soit 4 (1 - 3x) = 0 ou 2 - x = 0
soit 1 - 3x = 0 ou 2 = x
soit 1 = 3x ou x = 2
soit 1/3 = x ou x = 2
donc S = {1/3;2}
Nous vérifions bien que 2 est l'antédent de 0 par f ainsi que 1/3.
