Bonsoir,
Déterminer la ou les valeurs de x afin que l'aire A ait pour valeur 7cm²:
Ce qu'on sait:
A(Totale) = A(blanche) + A(grisée)
A(AEFG) = A(blanche) + A(grisée)
A(grisée) = A(AEFG) - A(blanche)
>> Éclaircissons un petit peu.
AEFG est un carré de côté 4cm.
A(carré) = Côté ²
A(AEFG) = 4² = 16
Ça, c'était le plus facile, voilà que ça se corse un peu.
- Calcul de l'aire blanche:
A(blanche) = A(CDGH) + A(BCIE)
- A(CDGH) = 2x(4 - x)
= 8x - 2x²
= -2x² + 8x
- A(BCIE) = x(4 - 2x)
= 4x - 2x²
= -2x² + 4x
A(blanche) = -2x² + 8x + (-2x² + 4x)
= -2x² + 8x - 2x² + 4x
= -4x² + 12x
- Calcul de l'aire grisée :
A(grisée) = A(totale) - A(blanche)
A(grisée) = A(AEFG) - A(blanche)
A(grisée) = 16 - (-4x² + 12x)
A(grisée) = 16 + 4x² - 12x
A(grisée) = 4x² - 12x + 16
A(grisée) = 7
4x² - 12x + 16 = 7
4x² - 12x + 9 = 0
>> Nous avons une équation du second degré donc de la forme ax² + bx + c avec:
a = 4
b = -12
c = 9
>> Calcul du discriminant
∆ = b² - 4ac
∆ = (-12)² - 4*4*9
∆ = 144 - 144
∆ = 0
∆ = 0 ; l'équation admet une solution double (voir explication à la fin):
x0 = -b / 2a = 12/8 = 3/2 = 1,5
S={ 1,5 }
L'aire A (Aire grisée) a pour valeur 7cm² lorsque x = 1,5.
Vérifions:
A(Grisée) = A(ABCD) + A(CIFH)
A(ABCD) = 2x * x
= 2x²
A(CIFH) = (4 - 2x)(4 - x)
= 16 - 4x - 8x + 2x²
= 2x² - 12x + 16
A(grisée) = 2x² + (2x² -12x + 16)
= 2x² + 2x² - 12x + 16
= 4x² - 12x + 16
>> On remplace x par 1,5:
4*1,5² - 12*1,5 + 16
= 4* 2,25 - 18 + 16
= 9 - 2
= 7
✅
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Quand le discrimant est nul, on dit que l'équation admet une solution double. Il y a en vérité une seule solution et voici pourquoi:
Quand le discrimant (∆) est supérieur à 0, on a deux solutions réelles distinctes :
x1 = (-b - √∆) / 2a
x2 = (-b + √∆) / 2a
Quand le discrimant est égal à zéro, l'équation admet une solution double:
x0 = -b/2a
>> Pourquoi?
Tout simplement parce qu'on aurait la chose suivante :
x1 = (-b - √∆)/2a = (-b - √0)/2a = (-b - 0)/2a
= -b/2a
x2 = (-b + √∆)/2a = (-b + √0)/2a = (-b + 0)/2a
= -b/2a
>> x1 = x2
>> On note cette solution double x0
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* = multiplication
Bonne soirée.
