Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape :
Partie A : g(x)=x+2-x lnx sur ]0; +oo[
1Limites
si x tend vers 0+, x lnx tend vers 0 donc g(x) tend vers 2.
si x tend vers +oo ,le terme 2 est négligeable donc g(x)=x(1-lnx) et g(x) tend vers (+oo)*(-oo)=-oo
2) Dérivée g'(x)=1-lnx-x*(1/x)=-lnx
g'(x)=0 pour x=1
Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x 0 1 +oo
g'(x) II + 0 -
g(x) II +2 croît 3 décroît -oo
3)Sur ]0; +1[ g(x) est toujours >0
Sur l'intervalle [+1;+oo[, g(x) est continue et monotone g(1)>0 et g(+oo)<0
D'après le TVI g(x)=0 admet une et une seule solution "alpha".
g(4)=0,45 et g(4,5)=-012 donc 4<alpha<4,5
g(x)>0 sur ]0; alpha[ et g(x)<0 sur ]alpha;+oo[
Partie B f(x)=(ln x)/(2+x) sur ]0; +oo[
1) Dérivée: f'(x)=[(1/x)(2+x)-lnx]/(2+x)²=(2+x-xlnx)/x*(2+x)²=g(x)/x*(2+x)²
2) Pour l'écriture , je remplace "alpha" par "a"
on a: g(a)=a+2-a lna or je sais que g(a)=0
ce qui donne a lna=a+2 ou lna=(a+2)/a
je reporte ceci dans la fonction f
f(a)= [(a+2)/a]/(a+2)=1/a donc f(a)=1/a
3) limites
si x tend vers 0, f(x) tend vers -oo/2=-oo
si x tend vers +oo, f(x) tend vers +oo/+oo (FI) ,mais d'après le th. des croissances comparées f(x) tend vers 0+
4) Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 alpha +oo
f'(x)II + 0 - (même signe que g(x))
f(x)II -oo croît 1/alpha décroît 0+
5) alpha est de l'ordre de 4,3 vois plus de précision avec ta calculette.
