Réponse :
f(x) = (- x² + 4 x - 7)/(x - 1) définie sur Df = ]- ∞ ; 1[U]1 ; + ∞[
1) Montrer que, pour tout x ∈ Df , f (x) = - x + 3 - 4/(x - 1)
f(x) = (- x² + 4 x - 7)/(x - 1)
= ( - x² + x + 3 x - 3 - 4)/(x - 1)
= ( - x(x - 1) + 3(x - 1) - 4)/(x - 1)
= (- x(x - 1) + 3(x - 1))/(x - 1) - 4/(x - 1)
= (x - 1)(- x + 3)/(x - 1) - 4/(x - 1)
f(x) = - x + 3 - 4/(x - 1)
2) (Δ) est la droite d'équation y = - x + 3. Etudier la position relative de Cf et (Δ)
il faut étudier le signe de f(x) - y
f(x) - y = - x + 3 - 4/(x - 1) - (- x + 3) = - 4/(x - 1)
x - ∞ 1 + ∞
- 4 - || -
x - 1 - || +
f(x) - y + || -
position relative Cf est au-dessus Cf est en dessous
de C f et (Δ) de (Δ) de (Δ)
3) Montrer que, pour tout x ∈ Df , f '(x) = - (x + 1)(x - 3)/(x - 1)²
f(x) = - x + 3 - 4/(x - 1)
f est une fonction quotient dérivable sur Df et sa dérivée est f '
f '(x) = - 1 + 4/(x - 1)²
= (- (x - 1)² + 4)/(x - 1)²
= - ((x - 1)² - 4)/(x - 1)²
= - (x - 1 + 2)(x - 1 - 2)/(x - 1)²
f '(x) = - (x + 1)(x - 3)/(x - 1)²
4) étudier le signe de f '(x) en fonction de x ∈ Df
puis dresser le tableau de variations de f sur Df
f '(x) = - (x + 1)(x - 3)/(x - 1)² (x - 1)² > 0
donc le signe de f '(x) dépend du signe de - (x + 1)(x - 3)
x - ∞ - 1 3 + ∞
f '(x) - 0 + 0 -
tableau de variations
x - ∞ - 1 1 3 + ∞
f(x) + ∞ →→→→→→→→→ 6 →→→→→→→+∞ ||-∞→→→→→→ - 2→→→→→→→→ - ∞
décroissante croissante croissante décroissante
5) déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 2
y = f(2) + f '(2)(x - 2)
f(2) = - 2+3 - 4/(2- 1) = - 3
f '(2) = - (2 + 1)(2 - 3)/(2-1)² = 3
y = - 3 + 3(x - 2) = 3 x - 9
6) peut-on trouver une tangente à Cf de coefficient directeur égal à - 1 ?
Justifier
f '(x) = - 1 ⇔ - (x + 1)(x - 3)/(x - 1)² = - 1 ⇔ - (x+1)(x - 3) + (x - 1)² = 0
⇔ - (x² - 2 x - 3) + x² - 2 x + 1 = 0 ⇔ - x² + 2 x + 3 + x² - 2 x + 1 = 0
or 4 ≠ 0 donc on ne pas trouver une tangente à Cf de coefficient directeur - 1
Explications étape par étape :