Bonsoir :)
[tex]\overrightarrow{AB}\left( \begin{array}{c}x_B-x_A \\y_B-y_A \\\end{array} \right)=\overrightarrow{AB}\left( \begin{array}{c}-4 \\-6 \\\end{array} \right)\\\\\overrightarrow{AC}\left( \begin{array}{c}x_C-x_A \\y_C-y_A \\\end{array} \right)=\overrightarrow{AC}\left( \begin{array}{c}1 \\-9 \\\end{array} \right)\\\\\overrightarrow{BC}\left( \begin{array}{c}x_C-x_B \\y_C-y_B \\\end{array} \right)=\overrightarrow{BC}\left( \begin{array}{c}5 \\-3 \\\end{array} \right)[/tex]
[tex]\text{La norme d'un vecteur }\vec{u}(x,y)\text{ est : }||\vec{u}||=\sqrt{x^{2}+y^{2}[/tex]
[tex]||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\\\||\overrightarrow{AC}||=\sqrt{(1)^{2}+(-9)^{2}}=\sqrt{82}\\\\||\overrightarrow{BC}||=\sqrt{(5)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{34}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(||\overrightarrow{AB}||^{2}+||\overrightarrow{AC}||^{2}-||\overrightarrow{AB-AC}||^{2})\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(4\times 13+82-34)=50\\\\\text{On va utiliser la deuxi\`eme d\'efinition du produit scalaire qui}\\\text{fait intervenir le cosinus de l'angle orient\'e }(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{AC}||\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightoarrw{AC})[/tex]
[tex]\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{50}{2\sqrt{13}\times\sqrt{82}}\\\\\widehat{BAC}=\cos^{-1}(\frac{50}{2\sqrt{13}\times\sqrt{82}})\approx 40\°[/tex]
[tex]\text{On recommence la m\^eme proc\'edure de calcul avec un autre}\\\text{angle orient\'e, par exemple }(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}):\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(||\overrightarrow{AB}||^{2}+||\overrightarrow{BC}||^{2}-||\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}||^{2})\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=2[/tex]
[tex]\cos(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC})=\frac{2}{2\sqrt{13}\times\sqrt{34}}\\\\\widehat{ABC}=\cos^{-1}(\frac{2}{2\sqrt{13}\times\sqrt{34}})\approx 87,3\°[/tex]
[tex]\text{La somme des angles dans un triangle quelconque est \'egal \`a }180\°\\\\\widehat{BCA}=180-\widehat{BAC}-\widehat{ABC}=180-40-87,3\\\widehat{BCA}=52,7\°[/tex]
N'hésite pas pour des questions si besoin :)
Bonne continuation à toi ! :)
