Bonsoir,
C(x) = 0,01x² + 250x + 2 500 000
R(x) = 800x
1)
a) Calculer C(7500) et interpréter le résultat :
C(7500) = 0,01 * 7500² + 250*7500 + 2500000
= 0,01 * 56250000 + 187500 + 2500000
= 562 000 + 187500 + 2500000
= 4 937 500
La production de 7 500 téléphones coûte 4 937 500€.
b) Calculer le montant de la recette que rapporte la vente de 7500 téléphones:
R(7500) = 800 * 7500
= 6 000 000
La vente de 7500 téléphones rapporte 6 000 000€.
c) En déduire le montant du bénéfice pour 7500 téléphones vendus:
Le bénéfice c'est Recette - coût de production donc:
6 000 000 - 4 937 500 = 1 062 500
Le bénéfice est de 1 062 500€.
2.
a) Justifier que, pour tout x ∈ [0 ; 60 000], le bénéfice, en euros, est défini par : B(x) = -0,01x² + 550 - 2 500 000 où x représente le nombre de téléphone fabriqués et vendus:
Comme je viens de te le dire, le bénéfice, c'est :
Recette - coût de production
B(x) = R(x) - C(x)
B(x) = 800x - (0,01x² + 250x + 2500000)
B(x) = 800x - 0,01x² - 250x - 2500000
B(x) = -0,01x² + 550x - 2 500 000
✅
b) Montrer que B(x) = -0,01(x - 50 000)(x - 5000):
>>> Développons l'expression qu'on nous donne pour y voir plus clair:
Je vais assez rapidement ; j'estime qu'en première, on sait développer une expression de ce genre. (Si ce n'est pas le cas, n'hésite pas à demander plus d'infos).
B(x) = -0,01(x - 50000)(x - 5000)
B(x) = -0,01(x² - 5000x - 50000x + 250000000)
B(x) = -0,01(x² - 55000x + 250 000 000)
B(x) = -0,01x² + 550x - 2 500 000
>>> En effet, c'est la même expression ✅
3)
a) Donner le tableau de signe de B sur [0 ; 60 000]:
B étant une fonction du second degré, on résout l'équation.
B(x) = -0,01x² + 550x - 2 500 000
∆ = b² - 4ac
∆ = 550² - 4*(-0,01)*(-2500000)
∆ = 302 500 - 100 000
∆ = 202 500
∆ = 202 500 > 0 ; l'équation admet deux solutions réelles distinctes :
x1 = (-b - √∆)/2a = (-550 - 450)/(-0,02) = -1000/(-0,02) = 50 000
x2 = (-b + √∆)/2a = (-550 + 450)/(-0,02) = -100/(-0,02) = 5 000
S={ 5 000 ; 50 000 }
>> Maintenant que nous avons nos deux racines, remplissons notre tableau de signe :
x | 0 5000 50 000 60 000
-------------------------------------------------------------
B(x) | - 0 + 0 -
b) À l'aide de la réponse à la question précédente, déterminer les quantités de téléphone à produire permettant d'obtenir un résultat positif :
Cela revient à résoudre l'inéquation suivante :
B(x) > 0
-0,01x² + 550x - 2 500 000 > 0
>>> On se sert du tableau:
S= ] 5 000 ; 50 000 [
(0 n'a pas de signe mais dans la consigne, on peut imaginer qu'on demande un bénéfice strictement positif ; les valeurs qui annulent l'expression sont rejetées).
c) Quelle est la quantité de téléphones à produire pour maximiser le bénéfice? On précisera la valeur de ce résultat maximal en euro.
On cherche donc le maximum de la fonction; on calcule la dérivée de celle-ci.
B(x) = -0,01x² + 550x - 2 500 000
B'(x) = -0,02x + 550
On résout B'(x) = 0 pour pouvoir dresser un tableau de variation.
B'(x) = 0
-0,02x + 550 = 0
-0,02x = -550
0,02x = 550
x = 27 500
x | 0 27 500 60 000
--------------------------------------------------------------
B'(x) | + 0 -
--------------------------------------------------------------
| 5 062 500
B | ↗ ↘
| - 2 500 000 - 5 500 000
>> Pour obtenir les valeurs du tableau :
B(0) = 0,01 * 0² + 550 * 0 - 2 500 000
= 0 + 0 - 2 500 000
= - 2 500 000
B(27 500) = -0,01 * 27 500² + 550 * 27 500 - 2 500 000
= -7 562 500 + 15 125 000 - 2 500 000
= 5 062 500
B(60 000) = -0,01 * 60 000² + 550 * 60 000 - 2 500 000
= -36 000 000 + 33 000 000 - 2 500 000
= - 5 500 500
>> Bref, pour en revenir à la question, la fonction atteint un maximum au point d'abscisse 27 500 égal à 5 062 500.
>>>>>> Pour maximiser le bénéfice, Il faut vendre et produire 27 500 téléphones. Le bénéfice sera de 5 062 500€.
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Voilà, j'espère que tout est correct (en théorie oui).
+ Je t'ai ajouté les tableaux en PJ pour être sûr que tu puisses les avoir.
* = multiplication
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Bonne soirée.
