CORRIGE (EXERCICE 1) :
Sujets 1 bac Asie 2021
Bonjour à toi,
[tex]\{\text{Centre de masse de phobos} }\}\\\text{REFERENTIEL HELIOCENTRIQUE}[/tex]
QUESTION ①.1)
QUESTION ①.2)
D'après la deuxième loi de Kepler (loi des aires), le système parcours des aires égales pendant des durées égales.
En conséquence la vitesse du système est d'autant plus élevée (respectivement faible) qu'il est proche (respectivement éloigné) du Soleil.
Or,
- Le point P s'assimile au périastre (point le plus proche du Soleil)
- Le point A s'assimile à l'apoastre (point le plus éloigné du Soleil)
Donc [tex]v_A < v_P[/tex]
QUESTION ②.1)
On suppose que le système n'est soumis qu'à la force gravitationnelle exercée par le Soleil. Donc d'après la deuxième loi de Newton,
[tex]\sum{\overrightarrow{F_{ext}}} = m \times \vec{a}\\\overrightarrow{F_{S \rightarrow PSP}}} = m \times \vec{a}\\\\G\frac{mM_s}{2r^2} \times \vec{n} = m \times \vec{a}\\\\G\frac{M_s}{r^2} \times \vec{n} = \vec{a}\\\\[/tex]
Or dans le repère de Frenet,
[tex]\vec{a} = \frac{v^2}{r}\times \vec{n} + \frac{dv}{dt} \times \vec{t}[/tex]
Donc par identification,
[tex]\frac{dv}{dt} = 0[/tex]
Il vient,
[tex]G\frac{M_s}{r^2} = \frac{v^2}{r} \Longleftrightarrow v^2 = G\frac{M_s}{r^2} \times r\Longleftrightarrow v = \sqrt{\frac{G \times M_s}{r} }\\[/tex]
QUESTION ②.2)
[tex]v = \sqrt{\frac{G \times M_s}{r} } = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^{-11} \times 2,0 \times 10^{30}}{6,9 \times 10^9} } = 139 \times 10^{3} m.s^{-1} \Longrightarrow 139 km.s^{-1}[/tex]
QUESTION ②.3)
Le taux de variation entre les deux vitesses est trop élevé pour qu'un même modèle soit utilisé.
QUESTION ③)
Attention, seule l'équation [2] est exigée par l'énoncé. Résoudre le problème avec l'équation [1] reviendrait à négliger le programme Python, et vous n'obtiendriez pas la totalité des points. Les remarques en italiques ne sont pas exigibles.
D'après le programme python,
[tex]\frac{T^2}{a^3}= 3.983462498345611 \times 10^{-20} \approx 4,0 \times 10^{-20} j^2.km^{-3}[/tex]
Or d'après la troisième loi de Kepler (loi des périodes) :
[tex]\frac{T^2}{a^3}= \frac{4\pi^2}{G \times M} = constante \Longleftrightarrow T^2 = \frac{4\pi^2}{G \times M_s} \times a^3 \Longleftrightarrow T = \sqrt{\frac{4\pi^2}{G \times M_s} \times a^3}\\\\ \text{Par calculs :}\\ T = \sqrt{\frac{4\pi^2 \times (58210\times 10^6)^3}{6,67 \times 10^{-11} \times 2,0 \times 10^{30 } }} = 7,6 \times 10^6 s \Longrightarrow 88 jours [1][/tex]
[tex]\\\text{Par le programme Python:}\\\\\frac{T^2}{a^3} = 4,0 \times 10^{-20} \Longleftrightarrow T = \sqrt{4,0 \times 10^{-20} \times (58210\times 10^{3})^2 } \approx 89 jours [2][/tex]
La proximité des résultats donnés par [1] et [2] témoigne que le raisonnement suivi grâce au programme Python est cohérent.
La sonde PSP a donc une période de révolution autour du Soleil de 89 jours.
