Réponse :
Explications étape par étape :
On nous donne dit que la population double tous les 4 mois. On note [tex]n[/tex] le nombre d'années.
1. Calcul des deux premiers termes
Si on note [tex]U_n[/tex] le nombre de lapin, [tex]U_n[/tex] double tous les n/3 (4 mois), donc on trouve pour [tex]U_1[/tex] et [tex]U_2[/tex] (en décomposant quadrimestre par quadrimestre) :
1er quadrimestre : [tex]U_{Q1} = U_0\times 2[/tex]
2ème quadrimestre : [tex]U_{Q2} = U_{Q1} \times 2 = U_0\times 2\times 2 = U_0\times 2^2[/tex]
3ème quadrimestre ([tex]U_1[/tex]) : [tex]U_{Q3} = U_1 = U_{Q2} \times 2 = U_0\times 2^2 \times 2 = U_0\times 2^3[/tex]
[tex]U_1 = U_0\times 2^3=24\times8=192[/tex]
4ème quadrimestre : [tex]U_{Q4} = U_{Q3} \times 2 = U_1\times 2 = U_0\times 2^4[/tex]
5ème quadrimestre : [tex]U_{Q5} =U_1\times 2^2[/tex]
6ème quadrimestre : [tex]U_{Q6} =U_2=U_1\times 2^3[/tex]
[tex]U_2=U_1\times 2^3 = 1536[/tex]
On voit donc que [tex]U_{n+1} = U_n \times 2^3[/tex]
2. Nature de [tex]U_n[/tex]
[tex]U_n[/tex] est donc une suite géométrique de raison [tex]2^3=8[/tex]
3. Expression de [tex]U_n[/tex]
D'après le détail obtenu à la question 1, on voit que [tex]U_n[/tex] peut s'exprimer de la façon suivante :
[tex]U_n = U_0 \times 2^{3n}=24\times 2^{3n}[/tex]
et comme [tex]24 = 2\times 2\times 2\times 3=2^3\times 3[/tex] alors :
[tex]U_n = 3\times 2^{3(n+1)}[/tex]
4. Nombre de lapins au 1er janvier 1863
La date de référence est le 1er janvier 1859, donc 4 ans se sont écoulés au 1er janvier 1863. La population est donc de [tex]U_4 = 3\times 2^{15}= 98304[/tex] lapins.
5. Modélisation
a. [tex]U_n[/tex] peut aussi s'écrire :
[tex]U_n = 3\times 2^{3(n+1)} = 3\times 2^3 \times 2^{3n} = 24 \times (2^3)^n[/tex]
donc [tex]U_n = 24\times 8^n[/tex]
On trouve alors k = 24 et a = 8
b. f(1,5) = 543,058 = 543 (en arrondissant)
Il s'agit du nombre de lapin au bout d'un an et demi
c. Au 1er avril, 1 trimestre s'est écoulé (donc 1/4 d'année), il faut donc calculer f(2,25) pour trouver le nombre de lapins au 1er avril 1861.
f(2,25) = 2583,23 soit 2583 lapins
On peut confronter ce résultat avec ce que nous avions trouvé à la première question : [tex]U_2[/tex] était égale à 1536, si on multiplie ce chiffre par 2 on obtient 3072 qui est le nombre de lapins au 1er mai 1861 (l'ordre de grandeur est donc correct). D'ailleurs, si on calcul f(2,333333333) = f(7/3) qui correspond à la date du 1er mai 1861, on retombe sur nos pattes !
