Réponse :
Explications étape par étape :
A partir de "On sait que [tex]\mathcal{C}_f[/tex] admet une tangente horizontale au point d'abscisse -3", on a bien :
[tex]f'(-3)=2a\times(-3)+b=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -6a+b=0[/tex] (1)
Si [tex]y=4x+5[/tex] est tangente à [tex]\mathcal{C}_f[/tex] au point -1 alors [tex]f'(-1)[/tex] est le coefficient directeur de la tangente et on a bien :
[tex]f'(-1) = 2a\times(-1) + b = 4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -2a+b=4[/tex] (2)
En faisant (1) - (2) on trouve bien a = 1 puis on déduit b = 6
Jusque là tout va bien... le seul maillon manquant était que si [tex]y=4x+5[/tex] est tangente à [tex]\mathcal{C}_f[/tex] au point -1, alors la tangente et la courbe partagent le même point (-1 ; 1). Donc on doit avoir :
[tex]f(-1) = 1[/tex]
Soit [tex](-1)^2+6\times (-1)+c=1[/tex]
donc c = 6
[tex]f(x)=x^2+6x+6[/tex]
