Bonjour,
On a : f(3) = 3 + 1 = 4
Pour que la fonction f soit continue en 3, il faut que :
[tex]\lim_{x \to 3} (ax^2 -2x) = f(3) = 4[/tex]
Or :
[tex]\lim_{x \to 3} (ax^2 -2x) = 3^2a - 6 = 9a-6[/tex]
Donc on cherche a tel que :
9a - 6 = 4, c'est à dire a = 10/9
On pose g(x) = x+1
Et h(x) = [tex]\frac{10}{9}x^2 - 2x[/tex]
g et h sont deux fonctions dérivables sur R et on a :
g'(x) = 1 et h'(x) = [tex]\frac{20}{9}x - 2[/tex]
Pour voir si f est dérivable en 3,
On calcule :
[tex]\lim_{h \to 0^+} (\frac{f(3+h) - f(3)}{h}) = g'(x) = \frac{20}{9} * 3 - 2 = \frac{42}{9} = \frac{14}{3}[/tex]
et
[tex]\lim_{h \to 0^-} (\frac{f(3+h) - f(3)}{h}) = h'(x) = 1[/tex]
Limites à gauche et à droite en 3 ne sont pas égales, donc f n'est pas dérivable en 3.
