Réponse :
Explications étape par étape :
Partie A :
a. A l'aide du graphique, on constate que est strictement décroissante sur ]0; 2] et strictement croissante sur [2; +∞[. On remarque aussi qu'elle toujours positive sur cet intervalle.
b. f semble atteint son minimum pour x = 2, à cet abscisse, f semble être égale à 0,6
c. L'équation de la tangente T est : y = -x + 2
Note : pour trouver le coefficient directeur, on voit qu'on descend d'une unité de y pour une unité de x. L'ordonnée à l'origine (le point ou x = 0) est
Partie B :
1.a. Dérivée de f
[tex]f'(x) = 1-\frac{2}{x}[/tex]
1.b. Signe de f' sur ]0, +∞[
pour x > 0 :
[tex]1-\frac{2}{x} > 0\\\\\frac{2}{x} < 1\\\\x > 2\\[/tex]
Ce résultat est bien en cohérence avec l'observation graphique
1.c. tableau de variation
x | 0 2 +∞
----------------------------------
f'(x) | - 0 +
----------------------------------
f(x) | [tex]\searrow[/tex] 0,613 [tex]\nearrow[/tex]
1.d. Le minimum est atteint en f(2) = 2 - 2ln(2) = 0,6137...
2. Equation de la tangente
La tangente à [tex]C_f[/tex] au point A(1; 1) a pour coefficient directeur [tex]f'(1) = 1 - 2 = -1[/tex]
l'équation de la tangente est donc de la forme y = -x + b
on sait qu'elle passe par A(1; 1) donc 1 = -1 + b i.e. b = 2
La tangente a donc pour équation y = -x + 2
3. Oui, ce qui a été observé graphiquement a bien été vérifié par le calcul.
