Réponse :
1) déterminer U1 et U2
U1 = 1500 x (1 - 10/100) + 100 = 1450
U2 = 1450 x (1 - 10/100) + 100 = 1405
2) a) montrer que Un+1 = 0.9Un + 100
U1 = U0 x (1 - 10/100) + 100
U2 = U1 x (1 - 10/100) + 100
donc Un+1 = Un x (1 - 10/100) + 100
= Un x (1 - 0.1) + 100
= 0.9 x Un + 100
b) U1 - U0 = 1450 - 1500 = - 50
U2 - U1 = 1405 - 1450 = - 45
U1 - U0 ≠ U2 - U1 donc (Un) n'est pas arithmétique
U1/U0 = 1450/1500 ≈ 0.966
U2/U1 = 1405/1450 ≈ 0.968
U1/U0 ≠ U2/U1 donc (Un) n'est pas géométrique
donc la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique
3) on pose Vn = Un - 1000
a) déterminer V0 ; V1 et V2
V0 = U0 - 1000 = 1500 - 1000 = 500
V1 = U1 - 1000 = 1450 - 1000 = 450
V2 = U2 - 1000 = 1405 - 1000 = 405
b) montrer que pour tout entier naturel n, Un+1 = 0.9Un
Vn = Un - 1000 ⇒ Vn+1 = Un+1 - 1000
⇔ Vn+1 = (0.9Un + 100) - 1000
= 0.9Un - 900
= 0.9(Un - 900/0.9)
= 0.9(Un - 1000)
donc Vn+1 = 0.9Vn
que peut-on en déduire pour Vn
donc (Vn) est une suite géométrique de raison q = 0.9 et de premier terme V0 = 500
c) en déduire Vn en fonction de n
on a donc Vn = V0 x qⁿ = 500 x 0.9ⁿ
d) en déduire Un en fonction de n
Vn = Un - 1000 ⇒ Un = Vn + 1000
donc Vn = 1000 + 500 x 0.9ⁿ
4) a) déterminer quel sera l'effectif en 1janvier 2027
n = 2027 - 205 = 22 et U22 = 1000 + 500 x 0.9²² ≈ 1049
au 1er janvier 2027, l'effectif de l'entreprise sera donc de 1049 employés
b) i) montrer que (Un) est décroissante
on a U0 = 1500 ; U1 = 1450 ; U2 = 1405 et U22 = 1049
on voit bien que la suite (Un) est décroissante
si l'on considère quel sera l'effectif à long terme
b) Un < 1010 ⇔ 1000 + 500 x 0.9ⁿ < 1010
⇔ 0.9ⁿ < 0.02 pour n = 38 ans soit l'année 2043
Explications étape par étape :
