Réponse :
Explications étape par étape :
1)
[tex]V = \frac{1}{3} \times h \times 2\pi r^2\\\\V = \frac{2}{3}\times h \times \pi r^2[/tex]
2) On peut appliquer Pythagore dans le triangle formé par r et h :
[tex]r^2 + h^2 = 9\\r^2 = 9 - h^2[/tex]
3) De la question précédente, on déduit que :
[tex]V = \frac{2}{3} \pi r^2\times h = \frac{2}{3} \pi (9-h^2) \times h\\\\V= \frac{2}{3} \pi (9h-h^3)[/tex]
4) a.
[tex]V'(h) = \frac{2}{3} \pi (9-3h^2)[/tex]
[tex]V'(h) > 0[/tex] quand [tex]9 - 3h^2 > 0\\[/tex] c'est à dire quand
[tex]3h^2 < 9\\\\h^2 < 3\\\\h < \sqrt{3}[/tex]
Bien sûr [tex]h = -\sqrt{3}[/tex] est exclus dans notre cas.
Donc, sur [tex][0, \sqrt{3}[[/tex] V'(h) est positive. Sur le même intervalle, V(h) est donc croissante.
Sur [tex]]\sqrt{3}, 3][/tex] V'(h) est négative et V(h) est décroissante
b. V admet donc un maximum en [tex]\sqrt{3}[/tex], il vaut :
[tex]V(\sqrt{3}) = \frac{2}{3} \pi (9\sqrt{3} - (\sqrt{3})^3)\\\\= \frac{2}{3} \pi (9\sqrt{3} - 3\sqrt{3})\\\\= \frac{2}{3} \pi (6\sqrt{3})\\\\= 4\pi \sqrt{3}[/tex]
5)
a. Volume maximal = 21,765 dm
