LOVE41
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Bonsoir à tous. J'aurais vraiment besoin d'aide s'il vous plaît car je n'y arrive vraiment pas. Mercii d'avance à ceux qui voudront m'aider ! :)

Une bouée de bateau est formée de deux cônes de révolution identiques accolés par leur base dont la génératrice mesure 3 dm. On désigne par h (en dm) la hauteur de chacun des cônes et par r (en dm) le rayon de leur base.

(figure qui se trouve ci-joint)

On rappelle que le volume V en dm^3 d’un cône de révolution de base un disque d’aire A en dm^2 et de hauteur h en dm est : V = 1/3 Ah.
On souhaite déterminer h et r pour que le volume de la bouée soit maximal.

1) Exprimer le volume V de la bouée en fonction de r et h.
2) Exprimer r^2 en fonction de h.
3) Justifier que ce volume peut alors s’écrire sous la forme : V(h) = 2/3pi (9h – h³) où h appartient [0 ; 3]
4)
a. Soit V la fonction qui à h associe V(h) sur l’intervalle [0 ; 3] et V′ sa dérivée.
Exprimer V′(h) pour tout réel h appartenant à [0 ; 3].
Etudier le signe de V′(h) sur [0 ; 3] , puis dresser le tableau de variation de V sur [0 ; 3].
b. En déduire que V admet un maximum V0 pour un réel h0 dont on donnera la valeur exacte.
5)
a. Calculer le volume maximal de la bouée.
En donner une valeur approchée, en dm^3 , à 10^-3 près.
b. Soit r0 le rayon de base correspondant à ce volume maximal.
Démontrer que r0 = h0 V2 .

Bonsoir À Tous Jaurais Vraiment Besoin Daide Sil Vous Plaît Car Je Ny Arrive Vraiment Pas Mercii Davance À Ceux Qui Voudront Maider Une Bouée De Bateau Est Form class=

Sagot :

PITOUILLE

Réponse :

Explications étape par étape :

1)

[tex]V = \frac{1}{3} \times h \times 2\pi r^2\\\\V = \frac{2}{3}\times h \times \pi r^2[/tex]

2) On peut appliquer Pythagore dans le triangle formé par r et h :

[tex]r^2 + h^2 = 9\\r^2 = 9 - h^2[/tex]

3) De la question précédente, on déduit que :

[tex]V = \frac{2}{3} \pi r^2\times h = \frac{2}{3} \pi (9-h^2) \times h\\\\V= \frac{2}{3} \pi (9h-h^3)[/tex]

4) a.

[tex]V'(h) = \frac{2}{3} \pi (9-3h^2)[/tex]

[tex]V'(h) > 0[/tex] quand [tex]9 - 3h^2 > 0\\[/tex] c'est à dire quand

[tex]3h^2 < 9\\\\h^2 < 3\\\\h < \sqrt{3}[/tex]

Bien sûr [tex]h = -\sqrt{3}[/tex] est exclus dans notre cas.

Donc, sur [tex][0, \sqrt{3}[[/tex] V'(h) est positive. Sur le même intervalle, V(h) est donc croissante.

Sur [tex]]\sqrt{3}, 3][/tex] V'(h) est négative et V(h) est décroissante

b. V admet donc un maximum en [tex]\sqrt{3}[/tex], il vaut :

[tex]V(\sqrt{3}) = \frac{2}{3} \pi (9\sqrt{3} - (\sqrt{3})^3)\\\\= \frac{2}{3} \pi (9\sqrt{3} - 3\sqrt{3})\\\\= \frac{2}{3} \pi (6\sqrt{3})\\\\= 4\pi \sqrt{3}[/tex]

5)

a. Volume maximal = 21,765 dm