Bonjour,
Soit [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] deux fonction définies sur [tex]\mathbb{R}[/tex] par :
- [tex]f(x)=x^{2} +5x+\frac{7}{2}[/tex]
- [tex]g(x)=-x^{2} -3x[/tex]
On définit une fonction [tex]h[/tex] telle que :
[tex]h(x)=f(x)-g(x)\\\\h(x)=x^{2} +5x+\frac{7}{2}-(-x^{2} -3x)\\\\ h(x)=x^{2} +5x+\frac{7}{2}+x^{2} +3x\\ \\h(x)=2x^{2} +8x+\frac{7}{2}[/tex]
Pour [tex]2x^{2} +8x+\frac{7}{2}[/tex], on a :
Δ = [tex](-8)^{2}-4\times2\times\frac{7}{2}[/tex]
Δ = 36
Comme Δ = 36 > 0, [tex]h'[/tex] admet deux racines distinctes :
[tex]x_{1}=\frac{-8-\sqrt{36} }{4}=\frac{-8-6}{4}=-\frac{14}{4}=-\frac{7}{2} \\ \\ x_{1}= \frac{-8+\sqrt{36} }{4}=\frac{-8+6}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}[/tex]
Ainsi, [tex]h'[/tex] est du signe de [tex]a = 2[/tex], c'est-à-dire positif à l'extérieur des racines et du signe de [tex]-a=-2[/tex], c'est-à-dire négatif à l'intérieur des racines.
D'où le tableau de variations de [tex]h[/tex] :
Valeurs de x -∞ -7/2 -1/2 +∞
Signe de [tex]h'[/tex] + 0 - 0 +
Variations de [tex]h[/tex] [tex]$\nearrow[/tex] [tex]$\searrow[/tex] [tex]$\nearrow[/tex]
En observant le tableau de variations, on obtient :
- Sur ]-∞ ; -7/2]∪[-1/2 ; +∞[, h'(x) ≥ 0 ;
D'où f(x) ≥ g(x). D'où [tex]C_{f}[/tex] est au-dessus de [tex]C_{g}[/tex].
- Sur [-7/2 ; -1/2], h'(x) ≤ 0 ;
D'où f(x) ≤ g(x). D'où [tex]C_{f}[/tex] est en-dessous de [tex]C_{g}[/tex].
En espérant t'avoir aidé.
