Réponse :
2a) AM=1/2*AC donc M(0;1/2)
AN=1/3*AB donc N(1/3;0)
BP=2BC soit BA+AP=2(BA+AC)
Donc AP=2BA-BA+2AC=-AB+2AC donc P(-1;2)
2b) MN=√((1/3-0)²+(1/2-0)²)=√(1/9+1/4)=√(13/36)=√13/6
PN=√((-1-1/3)²+(2-0)²)=√(16/9+4)=(52/9)=√52/3=2√13/3
PM=√((-1-0)²+(2-1/2)²)=√(1+9/4)=√(13/4)=√13/2
PM+MN=√13/2+√13/6=3√13/6+√13/6=4√13/6=2√13/3=PN
PM+MN=PN donc M, N et P sont alignés.
3a) MN=MA+AN=-AM+AN=-1/2*AC+1/3*AB
MP=MA+AB+BP=-AM+AB+2BC=-1/2*AC+AB+2(BA+AC)=-1/2*AC+AB-2AB+2AC
MP=-1/2*AC+2AC-AB=3/2*AC-AB
3b) MP=3/2*AC-AB=-3(-1/2*AC+1/3*AB)=-3MN
Donc MP et MN sont colinéaires donc M, N et P sont alignés.
4a) (MN) et (CI) sont // donc on applique thalès :
AM/AC=AN/AI
Or AM=1/2*AC donc AM/AC=1/2
Donc AN/AI=1/2 donc N est le milieu de [AI]
4b) AB=AN+NI+IB
Or AN=NI donc AB=2AN+IB
IB=AB-2AN=AB-2/3*AN=AB/3
Par ailleurs NI=AB-AN-IB=AB-1/3*AB-AB/3=AB/3
Donc NI=IB donc I est le milieu de NB
4c) Puisque BP=2BC alors C est le milieu de BP
On a donc BC/BP=1/2 et BI/BN=1/2 puisque I est le milieu de NB
Donc BC/BP=BI/BN
D'après la réciproque de Thalès, (CI) et (PN) sont //.
On sait que MN // CI donc M, N et P sont alignés.
Explications étape par étape :
