Bonjour,
Attention R(-1/2; 0) et non pas (-1/3 ; 0) comme dans l'énoncé!
1)
Soient les points:
- Tx le projeté de T sur (AB) parallèlement à (AC)
- Ty le projeté de T sur (AC) parallèlement à (AB)
On a (TTx) // (AC).
D'après le Th. de Thalès:
BT/BC = BTx/BA
Donc BTx = BT/BC * BA = 3/5 BA
Donc Vecteur (BTx) = 3/5 Vecteur (BA)
On démontre de même que CTy = 2/5 CA (vecteurs)
De BTx = 3/5 BA on peut déduire que ATx = 2/5 AB
et de CTy = 2/5 CA on peut déduire que ATy = 3/5 AC
Or AT = ATx + ATy (les vecteurs) car TyTTxA est un parallèlogramme.
On en déduit que AT = 2/5 AB + 3/5 AC
donc T(2/5 ; 3/5)
2) on ST(2/5 - 0 ; 3/5 - 1/3) ou encore ST(2/5 ; 4/15)
3)
On a S(0 ; 1/3) et R(-1/2; 0) donc SR(-1/2; -1/3)
donc det(SR;ST) = -1/2 * 4/15 + 1/3 * 2/5 = -4/30 + 2/15 = 0
SR et ST sont donc colinéaires les point R, S et T sont donc alignés.
