Réponse :
Explications étape par étape :
[tex]f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 6e^{x-1}(x^2-5x+5)[/tex]
la partie plus technique est de savoir dériver un produit de fonctions:
[tex](uv) = u'v + v'u[/tex]
et connaitre également la dérivée de :
[tex](e^u)' = u'e^u[/tex]
Si on applique ceci dans la fonction f, on trouve :
[tex]f'(x) = 6x^2 - 18x - [6e^{x-1}(x^2-5x+5)+6e^{x-1}(2x-5)]\\= 6x^2 - 18x - [6e^{x-1}(x^2-3x)]\\= 6(x^2-3x) - [6e^{x-1}(x^2-3x)]\\= 6(1 - e^{x-1})(x^2-3x)[/tex]
2) pour étudier les variations de f, il faut étudier le signe de f'
Comme f' s'écrit sous forme de produit, alors elle s'annule quand l'un des termes vaut zéro.
Cela signifie qu'elle s'annule quand :
[tex]1-e^{1-x} = 0[/tex]
c'est à dire quand :
[tex]e^{1-x} = 1[/tex]
soit quand 1 - x = 0 car [tex]e^0=1[/tex]
donc quand x = 1
Comme la fonction exponentielle est toujours positive,
[tex]1-e^{1-x}[/tex] est positive pour x < 1 est négative pour x > 1
De même, f' s'annule quand :
[tex](x^2-3x) = 0[/tex]
cela peut s'écrire de la manière suivante :
[tex]x(x-3) = 0[/tex]
Les deux racines évidentes sont x = 0 et x = 3. Cette fonction est negative sur ]0,3[ est positive ailleurs.
Tableau de variation en pièce jointe (extremums à calculer)
3) D'après l'étude de la question 2, on sait que f est monotone et décroissante sur [tex]]3, +\infty[[/tex], donc f(x) = -10 n'accepte qu'une solution sur cet intervalle. Je te laisse finir l'approximation car je dois filer !
