Réponse :
1) montrer que f(x) = x⁴ + x² - 6 x + 9
f(x) = AM²
vec(AM) = (x - 3 ; x²) ⇒ AM² = (x - 3)² + (x²)²
= x² - 6 x + 9 + x⁴
donc f(x) = x⁴ + x² - 6 x + 9
2) montrer que f '(x) = (x - 1)(4 x² + 4 x + 6)
f(x) = x⁴ + x² - 6 x + 9
f est une fonction polynôme dérivable sur R et sa dérivée f ' est :
f '(x) = 4 x³ + 2 x - 6
racine évidente x = 1 ⇒ f '(1) = 4 + 2 - 6 = 0
donc on peut écrire f '(x) = (x - 1)(a x² + b x + c)
⇔ f '(x) = a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c
= a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c
a = 4
b - a = 0 ⇔ b = a = 4
c - b = 2
- c = - 6 ⇔ c = 6
donc f '(x) = (x - 1)(4 x² + 4 x + 6)
3) étudier les variations de la fonction f et conclure
f '(x) = (x - 1)(4 x² + 4 x + 6)
4 x² + 4 x + 6
Δ = 16 - 96 = - 80 < 0 pas de racines
le signe de 4 x² + 4 x + 6 est positif car a = 4 > 0
donc le signe de f '(x) dépend du signe de x - 1
x - ∞ 1 + ∞
x - 1 - 0 +
f(x) + ∞ →→→→→→→→→→→→→ 5 →→→→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
f(x) est minimale est sa valeur est 5 pour x = 1
donc la distance AM est minimale pour x = 1
Explications étape par étape :
