Bonsoir pourriez-vous m'aider pour cette exercice :
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0; +∞] par :
f(x) = x + 4 - 4 In(x) - 3/x
où In désigne la fonction logarithme népérien.
On note C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
2. On admet que la fonction f est dérivable sur ]0; +∞[ et on note f' sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout nombre réel x > 0, on a :
f'(x) = (x² - 4x + 3) / x²
3.
a. Donner le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0; +∞[. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de f en 0 et en +∞. On admettra que lim (x->0) f(x) = -∞.
b. Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation f(x) = 5/3.
4. Etudier la convexité de la fonction f, c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle ]0; +∞[ sur lesquelles f est convexe, et celles sur lesquelles f est concave. On justifiera que la courbe C admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.
