bonjour
a)
le point A a pour coordonnées (x ; 24/(x² + 4) )
sur l'intervalle [0 ; 6] ces coordonnées sont positives
les côtés de l'angle droit du triangle rectangle OHM
mesurent x et 24/(x² + 4)
son aire est A(x) = (1/2)*x *24/(x² + 4) = 12x/(x² + 4)
b)
variations de A(x)
Dérivée d'un quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v²
u : 12x ; u' : 12
v : x² + 4 ; v' : 2x
A'(x) = [12(x² + 4) - 12x*2x ] / (x² + 4)²
le dénominateur est positif
signe du numérateur
12(x² + 4) - 12x*2x = 12x² + 48 - 24x²
= -12x² + 48
= 12 ( - x² + 4)
= 12 (4 - x²)
= 12 ( 2 - x)(2 + x)
= 12 (-x + 2)(x + 2)
x -∞ -2 0 2 6
-x + 2 + + + 0 -
x + 2 - 0 + + +
A'(x) - 0 + + 0 -
A(x) ↘ ↗ ↗ ↘
/////////////////////////////////// ///////////////////
sur l'intervalle [0 ; 6] l'aire croît de 0 à 2 puis décroît de 2 à 6
le maximum de l'aire obtenu pour x = 2
• quand x vaut 2 le point M a pour ordonnée
f(2) = 24/(2² + 4) = 24/8 = 3
M(2 ; 3)
• calcul de l'aire
A(x) = 12x/(x² + 4)
ce maximum vaut 24 / (2² + 4) = 24 /8 = 3
réponse : 3
