Bonsoir :)
[tex]f(x)\ est\ strictement\ d\'ecroissante\ sur\ [0;6].\\Voir\ ci\ joint\ le\ tableau\ de\ variation.[/tex]
[tex]L'aire\ du\ triangle\ rectangle\ OMH\ se\ calcule\ en\ divisant\ par\ 2\\le\ produit\ OH\ par\ HM.\\\\OH\rightarrow x\\HM\rightarrow f(x)\\\\A(x)=\frac{OH*HM}{2}\\\\A(x)=\frac{x*f(x)}{2}\\\\A(x)=\frac{x*\frac{24}{x^{2}+4}}{2}\\\\\boxed{A(x)=\frac{12x}{x^{2}+4}}[/tex]
[tex](\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\\\\u=12x\ donc\ u'=12\\v=x^{2}+4\ donc\ v'=2x\\\\A'(x)=\frac{12(x^{2}+4)-12x*2x}{(x^{2}+4)^{2}}\\\\ A'(x)=\frac{-12x^{2}+48}{(x^{2}+4)^{2}}\\\\(x^{2}+4)^{2}>0\\\\Le\ signe\ de\ A'(x)\ d\'epend\ uniquement\ du\ num\'erateur.\\\\-12x^{2}+48=0\\\Leftrightarrow -12x^{2}=-48\\\Leftrightarrow x^{2}=4\\\Leftrightarrow \boxed{x=2\ ou\ x=-2}[/tex]
[tex]Voir\ en\ pi\`ece\ jointe\ le\ tableau\ de\ variation\ de\ A(x)[/tex]
[tex]A(x)\ admet\ un\ maximum\ au\ point\ d'abscisse\ x=2\\\\A(2)=\frac{12*2}{2^{2}+4}=\frac{24}{8}=3[/tex]
N'hésite pas si tu as des questions, bonne continuation à toi :))
