Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
J'espère que cet exo n'était pas à faire pour ce lundi matin !!
1)
f(-4)=16+4=20
2)
Il faut résoudre :
x² - 4/(x+3)=0
soit :
[x²(x+3)-4] /(x+3)=0
(x³+3x²-4) / (x+3)=0
Donc il faut résoudre :
x³+3x²-4=0
x=1 est racine évidente car : 1³+3*1²-4=0.
Donc on peut écrire :
x³+3x²-4=(x-1)(ax²+bx+c)
Soitaprès avoir développé à droite :
x³+3x²-4=ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c
Par identification gauche-droite , on a :
a=1
b-a=3 ==>b=3+a=3+1
b=4
c-b=0 ==>c=b
c=4
-c=-4
c=4
Donc :
x³+3x²-4=(x-1)(x²+4x+4)
x³+3x²-4=(x-1)(x+2)²
f(x)=0 donne donc :
(x-1)(x+2)²=0 soit :
x-1=0 OU x+2=0
x=1 OU x=-2
3)
La dérivée de 4/u est -4u'/u².
Ici u=x+3 donc u'=1.
La dérivée de -4/(x+3) est donc : -(-4)/(x+3)²
f '(x)=2x + 4/(x+3)²
4)
f '(-1)=2(-1) +4/ (-1+3)²=-2 + (4/2²)=-2+1
f '(-1)=-1
5)
Non , on ne peut pas conclure que f '(x) est tjrs < 0 car , par exemple :
f '(0)=4/9 > 0.
6)
Trouver le signe de f '(x) :
f '(x)=2x +4/(x+3)²
On réduit au même dénominateur qui est (x+3)² soit ( x²+6x+9) :
f '(x)=[2x(x²+6x+9)+4] / (x+3)²
f '(x)=(2x³+12x²+18x+4) / (x+3)²
f '(x) est du signe de son numérateur.
Il nous faut donc le signe d'une fct auxiliaire que j'appelle g(x) avec :
g(x)=2x³+12x²+18x+4
g '(x)=6x²+24x+18 qui est < 0 entre ses racines.
Racines de g '(x) .
On résout :
6x²+24x+18=0 soit :
x²+4x+3=0
Δ=4²-4(1)(3)=4
√4=2
x1=(-4-2)/2=-3
x2=(-4+2)/2=-1
Variation de g(x) :
C= flèche qui monte et D=flèche qui descend.
x--------->-∞................-3..............-1..................+∞
g '(x)---->..........+.........0......-.......0...........+...........
g(x)------>-∞.....C........4.....D.......-4.......C.........+∞
Sur ]-∞;-3] , g(x) est continue et strictement croissante et passe de valeurs < 0 à une valeur positive pour x=-3. Donc d'après le Théorème des Valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que g(α)=0
La calculatrice donne :
α ≈ -3.7 car g(-3.8)≈-0.864 et g(-3.7)≈0.374
Sur ]-3;-1] , g(x) est continue et strictement décroissante et passe d'une valeur > 0 ( qui est 4) pour x=-3 à une valeur < 0 ( qui est -4) pour x=-1 Donc d'après le Théorème des Valeurs intermédiaires , il existe un unique réel β tel que g(β)=0
La calculatrice donne :
β=-2
Sur [-1;+∞[, g(x) est continue et strictement croissante et passe d'une valeur < 0 ( égale à -4) pour x=-1 à des valeurs positives pour x qui tend vers +∞. Donc d'après le Théorème des Valeurs intermédiaires , il existe un unique réel γ tel que g(γ)=0
La calculatrice donne :
γ ≈ -0.3 car g(-0.3)≈-0.374 et g(-0.2) ≈0.864
Tableau de signes de g(x) :
x-------->-∞............≈-3.7...................-2....................-0.3................+∞
g(x)----->........-..........0..........+.........0............-..........0............+..........
Mais f '(x) est du signe de g(x) donc :
Tableau de variations de f(x) :
x--------->-∞...............≈-3.7................-3..............-2.............≈-0.3..............+∞
f '(x)----->..........-.........0..........+..........||........+.......0......-.......0..........+..........
f(x)------>........D.........≈19.4.....C........||.......C.......0......D......≈-1.4.....C...
C= flèche qui monte et D=flèche qui descend.
J'ai indiqué sur mon graph les points :
A(-3.7;19.4)
B(-2;0)
C(-0.3;-1.4)
qui sont les points remarquables de Cf .
