Réponse :
f(x) = x³ - 2 x² + 4 x + 1 définie sur R
1) calculer f '(x)
la fonction f est une fonction polynôme dérivable sur R et sa dérivée f ' est : f '(x) = 3 x² - 4 x + 4
2) combien vaut le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf en son point d'abscisse 0 ?
a = f '(0) = 4
3) déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf en son point d'abscisse 2
y = f(2) + f '(2)(x - 2)
f(2) = 2³ - 2*2² + 4*2 + 1 = 9
f '(2) = 3*2² - 4*2 + 4 = 8
y = 9 + 8(x - 2) = 8 x - 7
donc l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 2 est :
y = 8 x - 7
4) en détaillant votre démarche démontrer que Cf n'admet aucune tangente horizontale
f '(x) = 3 x² - 4 x + 4
Δ = 16 - 48 = - 32 < 0 donc f n'admet aucune solution
donc f '(x) > 0 car a = 3 > 0 donc la courbe n'admet aucune tangente horizontale
4) a) calculer le coefficient directeur de la droite (AB)
a = (yB - yA)/(xB - xA) = (9 - 5)/(3 - 2) = 4
b) combien la courbe Cf admet-elle de tangentes parallèles à la droite (AB) ? justifier
on écrit f '(x) = 4 ⇔ 3 x² - 4 x + 4 = 4 ⇔ 3 x² - 4 x = 0
⇔ x(3 x - 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 4/3
donc la courbe Cf admet deux tangentes parallèles à (AB)
Explications étape par étape :