Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Tu m'as demandé de l'aide hier mais je ne me suis pas connecté. Tu as peut-être fini cet exo. Je te le fais quand même.
1)
Tu as trouvé :
f(-1)=0
2)
Il faut résoudre :
x³-4x²-10x-5=0
Mais avant tu as développé :
(x+1)(x²-5x-5) et tu as trouvé : x³-4x²-10x-5.
Donc on doit résoudre :
(x+1)(x²-5x-5)=0
x+1=0 qui donne : x1=-1 déjà trouvé en 1)
et :
x²-5x-5=0
Δ=(-5)²-4(1)(-5)=45
√45=√(9*5)=3√5
x2=(5-3√5)/2
x3=(5+3√5)/2
Antécédents de zéro : x1 ; x2 et x3 donnés ci-dessus.
3)
On développe :
(x-4)(x²-10)-45=x³-4x²-10x+40-45=x³-4x²-10x-5
4)
Donc :
f(x)=[(x-4)(x²-10)-45] / (x-4)
f(x)=[(x-4)(x²-10)] / (x-4) -[45/(x-4)]
Comme x ≠ 4 , on peut simplifier par (x-4) pour arriver à :
f(x)= x²-10 - [45/(x-4)]
5)
Ce qui donne :
f(x)-x²=-10 - [45/(x-4)]
Pour x > 4 , le facteur (x-4) est positif donc -45/(x-4) est négatif et :
-10 - [45/(x-4) ] est négatif comme somme de 2 termes négatifs.
Donc :
f(x)-x² < 0
Donc :
f(x) < x² pour tout x > 4.
6)
f est de la forme u/v avec :
u=x³-4x²-10x-5 donc u '=3x²-8x-10
v=x-4 donc v '=1
f '(x)=[(3x²-8x-10)(x-4)-(x³-4x²-10x-5)] /(x-4)²
Je te laisse développer et trouver à la fin :
f '(x)=(2x³-16x²+32x+45) / (x-4)²
f '(x) est du signe du numérateur que nous appelons :
g(x)=2x³-16x²+32x+45
Nous allons faire le tableau de variation de g(x) sur ]4;+∞[ .
g '(x)=6x²-32x+32 qui est négatif entre ses racines.
Calcul des racines :
6x²-32x+32=0 soit :
3x²-16x+16=0
Δ=(-16)²-4(3)(16)=64
√64=8
x1=(16-8)/6=4/3
x2=(16+8)/6=4
C=flèche qui monte.
x-------->4...........................+∞
g '(x)--->...........+..................
g(x)--->45.......C...............
Car g(4)=45
Le numérateur g(x) est croissante sur ]4;+∞[ avec g(4)=45. Donc g(x) > 0 sur cet intervalle.
Donc pour x > 4 , f '(x) > 0.
8)
Nous faisons maintenant le tableau de variation de g(x) sur ]-∞;-2] :
Nous avons vu que g '(x) est positif sur ]-∞;4/3] donc :
x------->-∞..................-2
g '(x)-->...........+..........
g(x)--->.......C..........-99
g(x) est croissante sur ]-∞;-2] avec pour max local g(-2)=-99.
Donc sur ]-∞;-2] , g(x) < 0.
Donc sur ]-∞;-2] , f '(x) < 0.
9)
On a donc :
f '(x)=(2x³-16x²+32x+45) / (x-4)²
qui est du signe du numérateur g(x)= 2x³-16x²+32x+45.
Nous allons faire le tableau de variation de g(x) sur [0;4[
g '(x)=6x²-32x+32 qui est négatif entre ses racines x1=4/3 et x2=4.
x-------->0.................4/3...............4
g '(x)--->..........+.........0.........-........0
g(x)---->45........C......≈64....D......45
D'après ce tableau de variation g(x) donc f '(x) est toujours positive sur [0;4[.
10)
D'après les questions 7) et 9) , f '(x) > 0 sur ]4;+∞[ donc :
x----->4....................+∞
f '(x)-->..........+..........
f(x)--->||..........C........
C=flèche qui monte.
Tgte en x=0 :
y=f '(0)x+f(0)
f '(0)=45/16 et f(0)=5/4
y=(45/16)x+5/4
Je ne connais pas le langage utilisé dans ce programme final.
