Réponse :
EX1
f(x) = (x²+1)eˣ
1) calculer f '(x) et en déduire les variations de f
f est une fonction composée est dérivable sur R et sa dérivée f '
est f '(x) = (uv)' = u'v + v'u
u(x) = x² + 1 ⇒ u'(x) = 2 x
v(x) = eˣ ⇒ v'(x) = eˣ
f '(x) = 2 xeˣ + (x²+1)eˣ
= 2 xeˣ + x²eˣ + eˣ
f '(x) = (x² + 2 x + 1)eˣ or eˣ > 0
donc le signe de f '(x) dépend du signe de x² + 2 x + 1 = (x + 1)² ≥ 0
f '(x) ≥ 0 donc f est croissante sur R
2) calculer f "(x)
f '(x) = (x² + 2 x + 1)eˣ
u(x) = x² + 2 x + 1 ⇒ u'(x) = 2 x + 2
v(x) = eˣ ⇒ v'(x) = eˣ
f "(x) = (2 x + 2)eˣ + (x² + 2 x + 1)eˣ
f "(x) = (x² + 4 x + 3)eˣ
3) étudier le signe de f"(x) et en déduire les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction f
f "(x) = (x² + 4 x + 3)eˣ or eˣ > 0
Δ = 16 - 12 = 4 > 0 ⇒ 2 racines ≠
x1 = - 4 + 2)/2 = - 1
x2 = - 4 - 2)/2 = - 3
x - ∞ - 3 - 1 + ∞
f"(x) + 0 - 0 +
convexe concave convexe
il y a deux points d'inflexion de coordonnées (- 3 ; f(-3)) et (- 1 ; f(- 1))
Explications étape par étape :
