Bonsoir :)
Réponse en explications étape par étape :
# Exercice : ABCD un rectangle tel que : AB = 6 cm et BC = 4 cm. On pose : AM = BN = CP = DQ = x (en cm) :
- Questions :
1. On suppose dans cette question que AM = 3 cm :
a. Calculer les aires des triangles AMQ et BMN :
- Le triangle AMQ :
Sachant que l'aire d'un triangle est : (base * hauteur)/2.
Soit donc : (b * h)/2.
Et donc : [AM] est la base du triangle AMQ, [AQ] sa hauteur.
On a : AM = x = 3 cm.
On a ABCD un rectangle donc : BC = AD = 4 cm.
On a : Q ∈ (AD), et AD = AQ + QD, or, DQ = AM = x = 3 cm.
Alors : AQ = AD - QD
AQ = 4 - 3
AQ = 1 cm
Donc : Aire(AMQ) = (AM * AQ)/2
Aire(AMQ) = (3 * 1)/2
Aire(AMQ) = 3/2
Aire(AMQ) = 1,5 cm²
- Le triangle BMN :
Sachant que l'aire d'un triangle est : (base * hauteur)/2.
Soit donc : (b * h)/2.
Et donc : [BN] est la base du triangle BMN, [BM] sa hauteur.
On a : BN = x = 3 cm.
On a ABCD un rectangle donc : AB = DC = 6 cm.
On a : M ∈ (AB), et AB = AM + MB, or, AM = BN = x = 3 cm.
Alors : MB = AB - AM
MB = 6 - 3
MB = 3 cm
Donc : Aire(BMN) = (BN * MB)/2
Aire(BMN) = (3 * 3)/2
Aire(BMN) = 9/2
Aire(BMN) = 4,5 cm²
b. En déduire l'aire du quadrilatère MNPQ :
- L'aire du rectangle ABCD :
Aire(ABCD) = L * l
Aire(ABCD) = AB * BC
Aire(ABCD) = 6 * 4
Aire(ABCD) = 24 cm²
- L'aire des triangles AMQ et CPN :
Aire(AMQ) = Aire(CPN) = 1,5 cm² (2 * Aire(AMQ))
- L'aire des triangles BMN et DPQ :
Aire(BMN) = Aire(DPQ) = 4,5 cm² (2 * Aire(BMN))
- L'aire du quadrilatère MNPQ :
Aire(MNPQ) = Aire(ABCD) - (2 * Aire(AMQ) + (2 * Aire(BMN))
Aire(MNPQ) = 24 - (2 * 1,5 + 2 * 4,5)
Aire(MNPQ) = 24 - (3 + 9)
Aire(MNPQ) = 24 - 12
Aire(MNPQ) = 12 cm²
Voilà
