bjr
à l'occasion éditer votre profil pour changer collège en lycée..
revenons à nos moutons :
nous sommes face à une courbe qui nous montre la trajectoire d'une fusée de feu d'artifice
avec équation de la courbe : f(x) = - x² + 16x + 5
où
f(x) = altitude de la fusée en mètres
qui se calcule en fonction de x qui est le temps de vol en secondes
Q1
on cherche x0, l'instant où la fusée touche le sol car elle n'a pas explosé.
simple lecture graphique puisque x0 est placé sur la courbe comme l'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses - logique altitude = 0 puisque sol touché
=> x0 = 16,2 en gros
par le calcul
f(x) = 0
soit - x² + 16x + 5 = 0
on va chercher les racines de x avec le discriminant Δ
Δ = 16² - 4*(-1)*5 = 256 + 20 = 276
x' = (-16 + √276) / 2*(-1) = - 0,30
et
x'' = (-16 - √276) / 2*(1) = 16,31 arrondi
=> temps de vol = 16,31 à 0,01 sec
Q2
altitude de départ
donc temps de vol x = 0
vous calculez donc f(0)
soit = - 0² + 16*0 + 5 = 5 => 5 m (confirmé par lecture graphique)
ensuite idem - f(4) et f(10)
Q3
tableau de variations qui reproduit ce qu'on voit sur la courbe
x 0 8 16,31
f(x) 5 C f(8) D 0
altitude max = ordonnée du point le plus haut
et instant = abscisse du point le plus haut
Q4
vous placez sur la courbe les points qui ont pour ordonnée 60
et vous lisez x l'abscisse des points
Q5
f(x) = 60
soit -x² + 16x + 5 = 60
vous trouvez ce qui est demandé
et
résoudre - x² + 16x - 55 = 0
idem - calcul du discriminant Δ et des racines - comme Q1
Q6
il faut que la fusée explose au dessus de 40 m
donc que f(x) ≥ 40
a - graphiquement
vous tracez une droite horizontale en y = 40 et lisez l'intervalle de x où la courbe est au dessus de cette droite
b - il faut donc que -x² + 16x+ 5 ≥ 40
soit ... vous trouvez
c) tableau de signes ?
il faut factoriser donc encore trouver les racines du polynome
-x² + 16x - 35
Δ = 16² - 4*(-1)*(-35) = 256 - 140 = 116
soit x' = (-16 + √116) / (2*(-1)) = 2,61
et x" = (-16 - √116) / (2*(-1) = 13,38
donc - x² + 16x - 35 = - (x - 2,61) (x - 13,38)
tableau signes
x 0 2,62 13,98 16,31
x-2,61 - 0 + +
x-13,38 - - 0 +
-1 - - -
signe final - 0 + 0 -
et donc la fusée est ≥ 40 m sur l'intervalle [2,52 ; 13,98]
