Sagot :
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1) Il faut bien placer les points sur le repère au fur et à mesure. Cela permet de vérifier les calculs ; c'est un exercice facile mais les risques d'erreurs de calcul ne sont pas nuls et il faut les détecter.
2) On va utiliser la réciproque du th. de Pythagore.
AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)²=(7-2)²+(1-2)²=26
AC²=(xC-xA)²+(yC-yA)²=(4-2)²+(4-2)²=8
BC²=(4-7)²+(4-1)²=3²+3²=18
on note que AB²=AC²+BC²; le triangle ABC est rectangle en C
3)Propriété: Le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse (prog. de 5ème)
Donc H est le milieu de [AB]
xH=(xA+xB)/2 =9/2 et yH=(yA+yB)/2=3/2 H(9/2; 3/2)
4) rayon du cercle r=AB/2=(V26)/2.
5)D est l'un des points d'intersection de la médiatrice de [AB] avec le cercle si DH=r et si les droites (DH) et (AB) sont perpendiculaires.
DH=V[(xD-xH)²+(yD-yH)²]=V[(4-9/2)²+(-1-3/2)²]=V(1/4+25/4)=V(26/4)=(V26)/2
on a bien DH=r
Th: deux droites du plan sont perpendiculaires si le produit de leur coef. directeurs=-1 (dans un repère orthonormé)
coef. de (AB) a=(yB-yA)/(xB-xA)=(1-2)/(7-2)=-1/5
coef. de (DH) a'=(yH-yD)/(xH-xD)=(3/2+1)/(9/2-4)=(5/2)/(1/2)=5
a*a'=-1
le point D est une intersection de la médiatrice de [AB] avec le cercle.
6) Le point E est l'autre point d'intersection de la médiatrice avec le cercle
Si E est le symétrique de D par rapport à H alors H est le milieu de [DE]
donc xH=(xE+xD)/2 d'où xE=2xH-xD=9-4=5
yH=(yE+yD)/2 d'où yE=2yH-yD=3+1=4
Coordonnées de E(5; 4)
7) Le quadrilatère AEBD a ses diagonales
a)qui sont de même longueur
b)qui se coupent en leur milieu
c)qui sont perpendiculaires
AEBD est donc un carré
8) Je pense qu'il faut calculer la longueur CF
ABC étant rectangle en C on peut calculer l'aire de deux façons
aire =AB*CF/2 ou aire=AC*CB/2
On voit que CF=AC*CB/AB=V8*V18/V26=(6V2)/V13 u.l (2,4 ul environ)