Réponse :
bonjour
Explications étape par étape :
1) Comme ABC est équilatéral AB=AC donc A appartient à la médiatrice de [BC]
comme BCD est isocèle en D DB=DC donc D apparient à la médiatrice de [BC]
la droite (AD) est la médiatrice de [BC] conséquence (AD] et (BC) sont perpendiculaires et I est le milieu de [BC].
2) On note que I est le projeté orthogonal de C sur (AD)
vecAD*vecAC=AD*AI (valeurs algébriques)
AI est la hauteur du triangle équilatéral de côté 2 donc AI=(2V3)/2=V3
le triangle BDI est rectangle en I avec BD=V3 et BI=1
donc ID=V(3-1)=V2
AD=AI+ID=V3+V2
vecAC*vecAD=V3(V3+V2)=3+V6
On peut aussi dire que [AD) est bissectrie de BAC donc CAD=30°
vecAD*vecAC=AD*AC*cosCAD=(V3+V2)*2*(V3)/2=(V3+V2)*V3=3+V6
