Réponse :
Bonjour, f(x)=2x/(x²-4) avec des ( ) car tu as remplacé le trait de fraction horizontal par un slash.
Explications étape par étape :
f(x) est une fonction quotient ,elle n'est donc pas définie pour les valeurs qui annulent le diviseur soient x=-2 et x=2 d' où le Df =R-{-2;+2}
1) limites en -oo et +oo
si x tend vers -oo , f(x) tend vers -oo/(-oo)²=0- f(x) tend vers 0-
si x tend vers +oo, f(x) tend vers +oo/(+oo)²=0+ f(x) tend vers 0+
La droite d'équation y=0 (soit l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale.
2)si x tend vers 2 (avec x<2) f(x) tend vers 4/0- =-oo
si x tend vers 2(avec x>2) f(x) tend vers 4/0+ =+oo
la droite d'équation x=2 est une asymptote verticale
3) on a le même cas si x tend vers-2
si x tend vers-2(avec x<-2) f(x) tend vers -4/0+=-oo
si x tend vers -2(avec x>-2), f(x) tend vers -4/0-=+oo
La droite d'équation x=-2 est une asymptote verticale.
4)Pour dresser le tableau de variations de f(x) on étudie le signe de sa dérivée
f(x) est une fonction quotient ,type u/v sa dérivée est f'(x)=(u'v-v'u)/v²
ce qui donne u=2x u'=2
v=x²-4 v'=2x
f'(x)=[2(x²-4)-2x*2x]/(x²-4)²=(-2x²-8)/(x²-4)=-2(x²+4)/(x²-4)²
quelque soit x appartenant à Df, f'(x) est toujours <0 donc f(x) est décroissante.
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo -2 2 +oo
f'(x) - - -
f(x) 0- D -oo II +oo D -oo II +oo D 0+
"II" symbolise les valeurs interdites
5) on note que f(-x)=-f(x) la représentation graphique est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.
