Bonsoir j'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour cet exercice en math niveau première. Merci d'avance pour l'aide^^

On considère le cercle trigonométrique C de centre O et un repère orthonormé (O ; OI ⃗ , OJ ⃗ ) dont l’unité OI est égale au rayon du cercle.

1) Construire au compas sur ce cercle les points A et B images respectives des réels π/4 et π/3
2) Donner les coordonnées des points A et B.
3)a.En calculant de deux manières le produit scalaire OA ⃗.OB ⃗, déterminer la valeur exacte de cos π/12
b. En déduire, en justifiant, la valeur exacte de sin π/12 ,cos(23π/12) , sin(11π-/12) et cos(59π/12 ).

1) pi/4=45°doncIOA=45° et pi/3=60° donc IOB=60°ceci pour la construction au compas des points A et B ; pour info OA est la bissectrice de IOJ et le triangle IOB est équilatéral.

2) coordonnées des points

A: xA=cospi/4=(V2)/2 et yA= sin pi/4 =(V2)/2 A{ (V2)/2: (V2)/2}

B: xB=cos pi/3=1/2 et yB=sin pi/3=(V3)/2 B {1/2; (V3)/2}

3-a) les coordonnées 'ou composantes) des vecteurs OA etOB sont les coordonnées des points A etB

vecOA*vecOB=[(V2)/2]*(1/2)+[(V2)/2]*(V3)/2=(V2)/4+(V6)/4 =(V2+V6)/4

on sait aussi que vecOA *vecOB=OA*OB*cos AOB or AOB=pi/3-pi/4=pi/12

et comme OA=OB=1 , cos pi/12=(V6+V2)/4

3-b) Pour calculer sinpi/12 on reprend la formule de 3ème sin²a+cos²a=1

sin²pi/12 =1-cos²pi/12=1-(2+2V2V6+6)/16=(16-8-4V3)/16=(8-4V3)/16=(2-V3)/4

sin pi/12=[V(2-V3)]/2 que l'on écrit aussi sin pi/12=(V6-V2)/4 ( la calculette donne cette écriture)

23pi/12=24pi/12-pi/12=-pi/12 or cos(-a)=cos a

donc cos23pi/12=cospi/12

11pi/12=12pi/12-pi/12=pi-pi/12 or sin (pi-a)=sin a

donc sin11pi/12=sin pi/12

59pi/12=48pi/12+11pi/12=11pi/12 =pi-pi/12 or cos (pi-a)=-cosa

donc cos 59pi/12=-cos pi/12

Sagot :

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