Réponse :
Re bonjour
Explications étape par étape :
Je viens de terminer ton autre exo et pendant que j'y suis , je te termine celui-ci.
a)
Inutile de passer par (uv) ' =u'v+uv'
f(x)=(1/2[(1/3)x³-(3/2)x²+2x+1]
f '(x)=(1/2)(3x²/3 -6x/2 +2)
f '(x)=(1/2)(x²-3x+2)
b)
On développe ce qui est donné :
(x-1)(x-2)=x²-2x-x+2=x²-3x+2
Donc on a bien :
f '(x)=(1/2)(x-1)(x-2) ou f '(x)=[(x-1)(x-2)]/2
c)
f '(x) est donc du signe de (x-1)(x-2).
Variation :
x------------->-1..................1................2..............4
(x-1)--------->.........-............0.....+..............+........
(x-2)------>.............-..................-.......0......+.........
f '(x)------>...........+............0......-......0.....+........
f(x)------->?......C................?....D......?........C..........?
f(-1) ≈ -1.417 ; f(1) ≈ 0.917 ; f(2) ≈ 0.833 ; f(4) ≈ 3.17
d)
f '(3)=(3-1)(3-2)/2=1
e)
f(3)=1.25=5/4 ( donné par la calculatrice mais tu peux faire le calcul " à la main").
Equa tgte en x=3 :
y= f '(3)(x-3)+f(3)
y=x-3+5/4
y=x-7/4 ou y=x-1.75 ( En rouge sur mon graph)
f)
T2 aura même coeff directeur que T1 .
Il faut donc résoudre :
f '(x)=1
soit :
(x²-3x+2)/2=1
x²-3x+2=2
x²-3x=0
x(x-3)=0
x=0 ou x=3
x=3 correspond à T1.
Donc T2 est tgte en x=0.
f(0)=1/2
Donc équa T2 :
y= f '(0)(x-0)+f(0)
y=1*(x-0) + 1/2
y=x+1/2 ( En bleu sur mon graph)
g)
Les tgtes seront // axe des "x" pour les les valeurs qui annulent f '(x).
f '(x)=0 donne :
(x-1)(x-2)=0
x-1=0 OU x-2=0
x=1 OU x=2
f(1)=(1/2)(1/3-3/2+2+1)=(1/2)(2/6-9/6+18/6)=(1/2)(11/6)=11/12
Equa tgte en x=1 : y=11/12 ( en vert )
f(2)=(1/2)(8/3-6+4+1)=)(1/2)(8/3-1)=(1/2)(5/3)=5/6
Equa tge en x=2 : y=5/6 ( en rose)
