Réponse :
Bonjour exercice sympa
Explications étape par étape :
g(x)=x+2-(2-x)e^x= x+2+(x-2)e^x ( écriture modifiée pour éviter les erreurs de signes)
g(x) est définie sur R
a) limites
si x tend vers -oo , (2-x)e^x tend vers 0 donc g(x) tend vers-oo
si x tend vers +oo, g(x) tend vers+oo
b) Dérivée
g'(x)=1+1*(e^x)+(e^x)(x-2)=1+(e^x)(x-1)
c)Dérivée seconde:
g"(x)=(ex)(x-1)+e^x =x*e^x
On note que g"(x) est du signe de x et g"(x)=0 pour x=0
d) Tableau de signes de g"(x) et de variation s de g'(x)
x -oo 0 +oo
g"(x) - 0 +
g'(x) +1 décroi g'(0)=0 croi +oo
De ce tableau on note que g'(x) >0 ou=0 pour x=0
e) Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x -oo 0 +oo
g'(x) + 0 +
g(x) -oo croi �� g(0)=0 croi +oo
On en déduit que:
g(x) est croissante ,
g(x) <0 sur ]-oo; 0[
g(x)> sur ]0; +oo[
Que point O(0;0) est un point d'inflexion; la courbe représentative de g(x) est concave sur ]-oo; 0[ puis convexe sur ]0; +oo[
