Réponse :
a) démontrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle [0 ; 10]
f(x) - f(5) = π/2(x - 5)²
f(x) = π (x/2)² + π((10 -x)/2)²
= π x²/4 + π(100 - 20 x + x²)/4
= π x²/4 + 100π/4 - 20π x/4 + π x²/4
f(x) = π x²/2 + 100π/4 - 20π x/4
f(5) = π(5/2)² + π((10 - 5)/2)² = 25π/4 + 25π/4 = 50π/4
f(x) - f(5) = π x²/2 + 100π/4 - 20π x/4 - 50π/4
= π x²/2 + 50π/4 - 20π x/4
= π x²/2 + 50π/4 - 20π x/4
= π/2(x² + 50/2 - 20 x/2)
= π/2(x² - 10 x + 25) identité remarquable a² - 2ab + b² = (a-b)²
= π/2(x - 5)²
donc f(x) - f(5) = π/2(x - 5)²
b) en déduire le minimum de f sur [0 ; 10]
f(x) - f(5) = π/2(x - 5)² ⇔ f(x) = π/2(x - 5)² + f(5)
le minimum de f est f(5) = 50π/4
c) résoudre l'équation f(x) = 61π/2
f(x) = 61π/2 ⇔ π/2(x - 5)² + 50π/4 = 61π/2 ⇔ π/2(x - 5)² + 50π/4 = 122π/4
⇔ π/2(x - 5)² - 72π/4 = 0 ⇔ π/2[(x - 5)² - 36] = 0
⇔ π/2(x - 5 + 6)(x - 5 - 6) = 0 ⇔ π/2(x + 6)(x - 11) = 0
x = - 6 ∉ [0 ; 10] ou x = 11 ∉ [0 ; 10]
donc pas de solution sur l'intervalle [0 ; 10]
donc l'aire blanche ne peut pas être égale à 61π/2 cm²
Explications étape par étape :
