Réponse :
{d0 = 1
{dn+1 = √(1 + (dn)²)
d1 = √(1 + (d0)²) = √2
d2 = √(1 + (d1)²) = √(1 + (√2)²) = √3
2) vérifier que la suite (dn) n'est ni géométrique ni arithmétique
d1/d0 = √2 et d2/d1 = √3/√2 = √6/2 ; d1/d0 ≠ d2/d1 donc (dn) n'est pas une suite géométrique
d1 - d0 = √(2) - 1
d2 - d1 = √3 - √2
on a d1 - d0 ≠ d2 - d1 donc (dn) n'est pas une suite arithmétique
3) on pose Un = (dn)², montrer que Un est arithmétique
Un+1 = (dn+1)² = (√(1 + (dn)²)² = 1 + (dn)²
Un = (dn)²
............................
Un+1 - Un = 1 + (dn)² - (dn)² = 1 donc (Un) est une suite arithmétique de premier terme U0 = 1 et de raison r = 1
4) en déduire l'expression de dn en fonction de n
Un = 1 + n
(dn)² = 1 + n ⇒ dn = √(1+n)
Explications étape par étape :
