Partie A: Étude d'une fonction auxilaire On considère la fonction g définie sur R par : g(x)=x-6x?+15x-18 1. Montrer que, pour tout réel x, g(x)=(x-3)(x2-3x+6). 2. Dresser le tableau de signes de la fonction g sur R.
Partie B : Étude d'une fonction rationnelle On considère la fonctionſ définie pour tout x différent de 2 par : x² (x-22 f(x)= x -6x²+9x x→+0
1. a. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. b. Interpréter les résultats précédents en terme d'asymptote.
2. On dit que la droite d'équation y=ax +b est asymptote oblique à la courbe représentative d'une fonction f en +oo (ou - ) si lim [f(x)-(a x+b)]=0. À l'aide de la définition ci-dessus, démontrer que la droite d'équation y=x-2 est asymptote oblique à courbe représentative de f en too.
3. En remarquant que la dérivée de (x-2) peut s'écrire 2(x-2), montrer que, pour tout réel x différent de 2, on a : f'(x)= 8(x) (x-2)
4. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur son ensemble de définition.
5. On rappelle que le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a est f'la). Pour quelles valeurs de x la tangente à la courbe C, est-elle horizontale ?
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