bonjour
p nombre premier impair ; division par 4
1)
p = 4q + r
le reste r doit être inférieur au diviseur 4
r ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3}
2)
si r = 0 alors p = 4q
p est un multiple de 4 est n'est pas impair
si r = 2 alors p = 4q + 2 = 2(2q + 1)
p est un multiple de 2 et n'est pas impair
1 et 3 sont les restes possibles
3)
• si p est de la forme 4q + 1
alors p² = (4q + 1) ² = (4q)² + 2*4q *1 + 1²
= 16q² + 8q + 1
p² - 1 = 16q² + 8q
= 8(2q² + q)
p² - 1 produit de 8 par le naturel (2q²+q) est un multiple de 8
• si p est de la forme 4q + 3
alors p² = (4q + 3)² = 16q² + 24q + 9
p² - 1 = 16q² + 24q + 8 = 8(2q² + 3q + 1) : multiple de 8
