1) Comme le raccordement avec la demi-droite rouge se fait au point A alors A appartient à f donc f(0)=0.
Comme le raccordement doit être tangent à chacun des tronçons alors au niveau du point A, la demi-droite rouge est tangente à f. Cela signique f'(0) correspondant au coefficient directeur de la droite rouge. Cette dernière étant horizontale, alors f'(0)=0.
f(0) = a x 0^3 + b x 0^2 + c x 0 + d = d = 0
f'(0) = 3a x 0^2 + 2b x 0 + c = c = 0
Donc c = d = 0.
2)
L'autre bout du raccordement se fait au point B donc celui-ci appartient à f donc f(4)=4.
Et comme f et l'ancien tronçon doivent être tangent alors ils ont la même dérivé en x=4 :
f'(4)=y'(4)=0,3 x 2 x 4 -0,2 x 4 = 1,6
f(4)=a x 4^3 + b x 4^2 = a x 64 + b x 16 = 4
on peut simplifier cette première équation en divisant tout par 4 :
a x 16 + b x 4 = 1
f'(4) = 3 x a x 4^2 + 2 x b x 4 = a x 48 + b x 8 = 1,6
en divisant par 2 on obtient a x 24 + b x 4 = 0,8
La première équation donne que b x 4 = 1 - a x 16 et en remplaçant cela de la seconde équation cela donne :
a x 24 + 1 - a x 16 = 0,8
a x 8 = 0,8 - 1
a x 8 = -0,2
a = - 0,2/8 = -0,025
En remplaçant ça dans ce qu'on a marqué plus haut cela donne :
b x 4 = 1 - a x 16
b x 4 = 1 + 0,025 x 16
b x 4 = 1 + 0,025 x 16
b x 4 = 1 + 0,4
b x 4 = 1,4
b = 1,4/4 = 0,35
Ainsi f(x) = -0,025 × x^3 + 0,35 × x^2
